Интегрирование по частям в интеграле Лебега

[kp9r4d]

Пусть $\mu$ стандартная мера Лебега. Интересуют условия на почти всюду дифференцируемые, абсолютно интегрируемые функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие (условия), что выполняется
$\int f g' d\mu = fg |_{-\infty}^{+\infty} - \int f' g d \mu$
в интернете всюду указано условие только для функций с носителем $[a..b]$ (в этом случае достаточно, чтобы $f,g$ были конечной вариации).
Ещё интересно: существуют ли некоторые аналоги формул интегрирования по частям и Ньютона-Лейбница для интеграла Лебега (и функций из произвольного пространства с мерой в $\mathbb{R}$)? Вот для интеграла по диф. форме существуют, а есть ли нечто похожее и тут?