Длина волны квантов ЭМ поля

[Sanek6192]

Может быть глупый вопрос, но ответа я не знаю.
Пусть имеется неподвижная, относительно наблюдателя, заряженная сфера с отрицательным зарядом $Q$.
На некотором расстоянии $r$ от нее находится электрон. Электрон, взаимодействуя со сферой, получает от нее энергию переносимую фотонами, как квантами ЭМ поля.
Можно ли узнать какая будет длина волны у этих фотонов?

[levtsn]

Тут знатоки говорят они виртуальные.

[Munin]

Можно. Импульс, переносимый одним фотоном, равен $p=2\pi\hbar/\lambda.$

Теперь возникает вопрос, а какой импульс переносит один фотон? Допустим, мы наблюдаем, что электрон, взаимодействуя со сферой, изменил свою скорость на $\Delta v.$ Тогда полученный им импульс $m\,\Delta v.$ Но это суммарный импульс от многих фотонов.

Фотоны - это кванты взаимодействия. Квантование любых явлений и величин связано с квантованием действия (это не бытовое слово, а специальная физическая величина). Грубо говоря, если энергия взаимодействия электрона со сферой $U$ (обычная электростатическая), и время взаимодействия было $\Delta t,$ то действие для этого взаимодействия можно оценить как $S=U\,\Delta t.$ Отсюда можно найти число фотонов: $S=2\pi\hbar\,n.$

Собирая всё вместе, получаем $\lambda=U/F,$ где $F$ - сила притяжения электрона. Но по факту, $F=\partial U/\partial r.$ Так что, по сути, $\lambda=(\partial(\ln U)/\partial r)^{-1}.$

Надеюсь, я нигде не наврал...

[amon]

Sanek6192 в сообщении #1058936 писал(а):

Можно ли узнать какая будет длина волны у этих фотонов?

Что-то мне подсказывает, что бесконечная. IMHO, это - проблема ИК расходимости КЭД, и единственная известная мне книжка, где это обсуждается - это древний Ахиезер-Берестетский. Если кто-нибудь даст ссылку на современную книжку где это обсуждается, благодарность моя будет беспредельна.

[levtsn]

Munin

если бы электрлн отклонялся реальными фотонами с длинной волны, то мы бы регистрировали их и в других процессах.
а имея просто заряженное тело - этого нет. противоречие.
кроме того, заряженное тело теряло бы энергию. а этого нет. противоречие.

[schoolboy]

Munin в сообщении #1058957 писал(а):

Отсюда можно найти число фотонов

А то, что оператор напряженности электрического поля не коммутирует с оператором числа частиц, это ничего?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1058957 писал(а):

Надеюсь, я нигде не наврал...

Может я не прав, но что-то не вижу я смысла в этих Ваших рассуждениях. Здесь все довольно просто. Поле от заряженного шара такое же как от точечного заряда. Т.е. в ${\bf k}$-представлении $\phi \sim 1/k^2$ (уравнение Пуассона в k-представлении решается сразу). Так что длины волн есть самые разные от очень больших до очень маленьких, распределение спадает с уменьшением длины волны (т.е. увеличением $k$). Впрочем, если учесть реальные размеры шара, то распределение обрежется на масштабе порядка обратного размера шара. Здесь еще и фотоны "ненастоящие", продольные. Иногда продольную часть поля вообще не квантуют и правильно делают. Правда, при этом теряется лоренц-инвариантность (поэтому в "высокой" теории этот подход не любят). Кроме того фотоны (если уж продольную часть поля все же проквантовать) вне массовой поверхности, с нулевой частотой. Что для виртуальных фотонов вполне нормально, виртуальные не обязаны быть на массовой поверхности.

[Munin]

levtsn в сообщении #1058995 писал(а):

если бы электрлн отклонялся реальными фотонами с длинной волны

Я и не сказал, что реальными. У виртуальных тоже длина волны есть.

schoolboy в сообщении #1059007 писал(а):

А то, что оператор напряженности электрического поля не коммутирует с оператором числа частиц, это ничего?

Это ничего. Я про усреднённую величину.

Alex-Yu в сообщении #1059008 писал(а):

Т.е. в ${\bf k}$-представлении $\phi \sim 1/k^2$ (уравнение Пуассона в k-представлении решается сразу). Так что длины волн есть самые разные от очень больших до очень маленьких, распределение спадает с уменьшением длины волны (т.е. увеличением $k$).

Это-то понятно. Вопрос в том, какие из них поглощаются электроном :-)

-- 04.10.2015 11:14:57 --

Первая мысль такая: решить уравнение Пуассона с двумя источниками, что всего лишь сумма двух решений, но один из источников сдвинут в пространстве, что в импульсах означает фактор $e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}_0}.$

[levtsn]

а дробовой шум от электростатического притяжения можно зафиксировать, интересно?

[Munin]

Пока чувствительность приборов сильно не дотягивает. Хотя вопрос широкий, я не могу оценить, насколько сильно. Если говорить не об электростатике, а учесть движущиеся заряды, то это давно сделано и далеко превзойдено.

[levtsn]

если подвесить маленький заряженный шарик в электростатическом поле, то он будет совершать броуновские колебания, если это поле воздействует квантами, я так понимаю.

[Munin]

Для этого надо и положение самого шарика наблюдать, а наблюдаем мы тоже квантами электромагнитного поля. Так что...

[levtsn]

броуновское движение вполне наблюдается, может и такое тоже можно, поле там посильней сделать, наблюдать пореже

[schoolboy]

Munin в сообщении #1059025 писал(а):

Это ничего. Я про усреднённую величину.

Если точно известна координата электрона, то нет смысла говорить и про усредненную величину его импульса. Если задача электростатики с точным значением электрического поля, то нет смысла говорить о числе фотонов. Или Вы берётесь отвечать на детский вопрос: «как же все-таки там на самом деле»? Я то думал, что ваш ответ совпадает с моим: – нет никакого божественного «на самом деле». Но если Вы беретесь рассказать всем «как на самом деле», то флаг Вам в руки.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1059025 писал(а):

Это-то понятно. Вопрос в том, какие из них поглощаются электроном

А-а-а-а... Вот о чем... Естественно, там поглощаются разные фотоны. Но быть может (?) в такой постановке есть какая-то наиболее вероятная длина волны.


Как-то лихо Вы с действием обошлись. Все же это не нечто сохраняющееся вроде энергии. Не знаю правильно это или нет. Конечно, задачу можно решить тупо-математически: написать вторично-квантованный гамильтониан и т.д. Но лениво, в уме-то не сделаешь Во всяком случае я не могу в уме. Может еще возникнуть проблема с тем, что фотоны "не настоящие" (продольные), не выскочила бы калибровочная неинвариантность ответа (что сделает его физически бессмысленным)... Вообще говорить о продольных фотонах (соответствующих электростатике) --- дело довольно "скользкое", можно и "напахать".