Определить полноту пространства (X,p)

[Roman1712]

Здравствуйте. Нужна помощь.

Задача:

Является ли $(X,p)$ полным метрическим пространством?

$X=\mathbb R^2, p(M_1,M_2)=\max\{| x_1^3-x_2^3|,| y_1^3-y_2^3|\}$.

Я осознаю, что нужно воспользоваться теоремой:

"Метрическое пространство $X$ называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится."

Однако я не совсем представляю себе доказательство сходимости любой последовательности из представленного нам пространства.

Если я правильно понял нужно рассмотреть по отдельности:

$|x_n_1^3-x_m_1^3|=|(x_n_1-x_m_1)\cdot(x_n_1^2+x_n_1\cdot x_m_1+x_m_2^2)|\rightarrow0$, так как вторая скобка всегда положительна, а первая будет стремиться к нулю, так как разность $ x_n_1$ и $x_m_1$ будет стремится к нулю при $n_1\rightarrow \infty$ и при $m_1\rightarrow \infty$ . Итого, последовательность по иксам окажется фундаментальной.

Аналогично по игрекам.

Значит, после этого можно утверждать, что любая последовательность из $\max\{|x_1^3-x_2^3|, |y_1^3-y_2^3|\}$ будет фундаментальна, следовательно, полнота метрического пространства доказана.

Верно ведь? Это достаточно исчерпывающе?

[Nsk]

Чтоб доказать полноту, надо взять фундаментальную последовательность и доказать, что она сходится, а не наоборот(из сходимости последовательности в метрическом пространстве следует её фундаметальность всегда, не только в полных пространствах).

[Otta]

Roman1712
По сути верно, но логические связки хромают и слова не те говорятся.
И двойная нумерация индексов не понятно к чему, тем более, путаетесь Вы в ней.

В целом почти так, только берите сразу максимум, из него делайте вывод о поведении модулей разностей кубов покоординатно, потом - как у Вас - вывод о поведении модулей разностей координат, а тут сказать слова наподобие таких: стало быть, в стандартной метрике последовательность фундаментальна, значит, сходится. Обозначить как-то предел, к которому сходится, и попытаться доказать, что в Вашей метрике последовательность сходится туда же. Должно получиться.

В текущем тексте ни слова о существовании предела пока нет.

-- 04.10.2015, 00:34 --

К удаленному:

Roman1712 в сообщении #1058921 писал(а):

ааа то есть из сходимости последовательности в метрическом пространстве следует её фундаментальность всегда, но из фундаментальности не следует сходимость?

А Вы определение полного метрического пространства внимательно прочли?

[Roman1712]

То есть я должен писать так?:
Пусть {Xn} фундаментальная последовательность, то есть для любого$\xi > 0$ существует N такие что, для любых n,m \geqslant N $p(M_n,M_m)<\xi$. Пусть пространство $(X,p)$ полное, то есть для $p(M_n,M_m)$ существует $M_0$ : $p(M_n,M_0)=0$ рассмотрим $\lim p(M_n,M_0)=0$ при $n \to \infty$ он равен $\lim \max\{|X_n^3-X_0^3|,|Y_n^3-Y_0^3|\}=\lim \max\{|(X_n-X_0)\cdot(X_n^2 + X_n\cdot X_0 + X_0^2) |,|(Y_n - Y_0)\cdot(Y_n^2 + Y_n\cdot Y_0 + Y_0^2)|\}=0 $

так как разности $(X_n -X_0), (Y_n -Y_0) $стремятся к 0, получили что фундаментальная последовательность сходится, а это значит что пространство полное?

[NSKuber]

Roman1712 в сообщении #1059069 писал(а):

Пусть пространство $(X,p)$ полное

Вам это доказать надо.

Roman1712 в сообщении #1059069 писал(а):

то есть для $p(M_n,M_m)$ существует $M_0$ : $p(M_n,M_0)=0$ рассмотрим $\lim p(M_n,M_0)=0$ при $n \to \infty$ он равен $\lim \max\{|X_n^3-X_0^3|,|Y_n^3-Y_0^3|\}=\lim \max\{|(X_n-X_0)\dot(X_n^2 + X_n\dot X_0 + X_0^2) |,|(Y_n - Y_0)\dot(Y_n^2 + Y_n\dot Y_0 + Y_0^2)|\}=0 $

Что тут происходит вообще?

Начало (первое предложение) верное (но формулы оформлять надо лучше!). Далее вам надо доказать, что выписанная фундаментальная последовательность имеет предел по метрике $p$, тогда вы докажете полноту $(X, p)$. Доказывать надо воспользовавшись определением данной метрики и известной полнотой вещественных чисел с метрикой $d(x_1, x_2)=|x_1-x_2|$.