2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 15:06 


12/12/14
7
Добрый день!

Столкнулся с задачей, в которой надо было найти предел реккурентной последовательности, заданной следующим образом:
$x_1 = 1, x_n = \sqrt{1+x_{n-1}}$

Ключевым моментом решения является наблюдение, что $A = \sqrt{1+A}$, если $A$ - предел этой последовательности.
Проблема в том, что я не очень понимаю, как это доказать строго(используя язык эпсилон-дельта).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если стоИт вопрос, как доказать существование предела последовательности, то такое док-во обычно опирается на т. Вейерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 15:28 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Рассмотрите последовательность $y_n=A-x_n$, оцените отношение соседних членов этой последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Segra21 в сообщении #1058436 писал(а):
Ключевым моментом решения является наблюдение, что $A = \sqrt{1+A}$, если $A$ - предел этой последовательности.
Проблема в том, что я не очень понимаю, как это доказать строго(используя язык эпсилон-дельта).

Хм... Если понимать строго как написано, то получается, что мы уже предположили что $A$ - предел последовательности и теперь хотим что-то о нем сказать.
Если вопрос именно в этом, то никаких $\varepsilon,\delta$ не нужно, нужно просто перейти к пределу в рекуррентном равенстве.

А вот если нужно доказать существование предела -- это вопрос другой! Но и тут скорее нужны теоремы, чем определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:34 


12/12/14
7
Brukvalub в сообщении #1058438 писал(а):
Если стоИт вопрос, как доказать существование предела последовательности, то такое док-во обычно опирается на т. Вейерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

С вопросом сходимость проблем нет.
Вопрос конкретно в том, как доказать $A = \sqrt{1+A}$

В принципе, подумал, вот так:
Пусть $y_n = 1+x_{n-1}$. $y_n = x^2_n \cog \lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} x^2_n = A^2$. $\lim_{n \to \infty} (1+x_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} x_{n-1} = 1 + A$
Отсюда и получаем $A+1=A^2$

-- 02.10.2015, 18:35 --

provincialka в сообщении #1058486 писал(а):
Segra21 в сообщении #1058436 писал(а):
Ключевым моментом решения является наблюдение, что $A = \sqrt{1+A}$, если $A$ - предел этой последовательности.
Проблема в том, что я не очень понимаю, как это доказать строго(используя язык эпсилон-дельта).

Хм... Если понимать строго как написано, то получается, что мы уже предположили что $A$ - предел последовательности и теперь хотим что-то о нем сказать.
Если вопрос именно в этом, то никаких $\varepsilon,\delta$ не нужно, нужно просто перейти к пределу в рекуррентном равенстве.

А вот если нужно доказать существование предела -- это вопрос другой! Но и тут скорее нужны теоремы, чем определение.

Вы поняли верно. Предполагается уже, что предел есть. И надо доказать, что если он есть, то он должен быть корнем уравнения $x^2-x-1 = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Segra21 в сообщении #1058490 писал(а):
Предполагается уже, что предел есть.

provincialka в сообщении #1058486 писал(а):
то никаких $\varepsilon,\delta$ не нужно, нужно просто перейти к пределу в рекуррентном равенстве.

Вам понятна последняя фраза? Взять предел от левой и от правой частей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:39 


12/12/14
7
Дальше просто: $A = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$, но отрицательное значение не подходит( берём $\varepsilon = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ и получаем из определения предела, что $x_n < 0$, что неверно ).

-- 02.10.2015, 18:42 --

provincialka
Это я сделал сразу. Но ничего путного из $\lim x_n = \lim \sqrt{1+x_{n-1}}$ у меня вывести не получилось( используя только теорию пределов последовательностей, не принимая во внимание теоремы о пределе композиции непрерывных функций ).
Впрочем, из равносильного уравнения $\lim x^2_n = \lim {1+x_{n-1}}$ всё вроде выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, вы же не указали, чем можно пользоваться :-)
Теперь все ОК?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 17:47 


12/12/14
7
provincialka
полагаю, что да, спасибо :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 18:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Segra21 в сообщении #1058496 писал(а):
Впрочем, из равносильного уравнения $\lim x^2_n = \lim {1+x_{n-1}}$ всё вроде выходит.

Увы, не выходит. Это не равносильность, это ссылка на именно непрерывность корня.

Конечно, можно доказать непрерывность конкретно квадратного корня и на коленке, и даже легко. Однако проделывать это специально по поводу конкретной задачки как-то глупо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 19:30 


12/12/14
7
ewert в сообщении #1058519 писал(а):
Segra21 в сообщении #1058496 писал(а):
Впрочем, из равносильного уравнения $\lim x^2_n = \lim {1+x_{n-1}}$ всё вроде выходит.

Увы, не выходит. Это не равносильность, это ссылка на именно непрерывность корня.

Конечно, можно доказать непрерывность конкретно квадратного корня и на коленке, и даже легко. Однако проделывать это специально по поводу конкретной задачки как-то глупо.

Не понимаю, почему нет.
Имелась в виду равносильность следующих уравнений:
$x_n = \sqrt{1+x_{n-1}} \leftrightarrow x^2_n = 1 + x_{n-1}$
А $\lim (x^2_n) = \lim (1 + x_{n-1})$ это уже следствие из уравнения $x^2_n = 1 + x_{n-1}$
Пределы равных последовательностей равны же( очевидно ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 20:15 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Возьмите производную от правой части в т. $A$, если она окажется меньше 1 по модулю, то всё ОК, эта точка устойчива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
dsge, Нам даже непрерывностью корня не разрешают пользоваться! А вы о производной...

Segra21, ewert по большому счету прав. Если вы используете функцию $\sqrt{}$, вы должны сначала хотя бы доказать ее существование для всех (неотрицательных) $x$. А это доказательство опирается на продолжение ее с множества $\{q^2\}$ по непрерывности.
Иногда преподаватели "стыдливо" умалчивают об этом... Может, чтобы иметь возможность пользоваться всякими разными (хотя еще и не введенными аккуратно) функциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение02.10.2015, 23:30 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
provincialka в сообщении #1058625 писал(а):
Нам даже непрерывностью корня не разрешают пользоваться! А вы о производной...

Тогда от противного. Допустим существует что-то другое, тогда при больших $n$, $x_n$ вылезет из его окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел реккурентной последовательности
Сообщение03.10.2015, 00:32 


12/12/14
7
provincialka
жуть какая :D
Я имел в виду, что нет готовой формулы у нас на предел композиции функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group