1001110000111110000001111111...

[maxal]

Для целого числа $m\geq 0$ докажите, что число

$$100111000011111\dots\underbrace{00\dots0}_{2m}\underbrace{11\dots1}_{2m+1}$$

делится на число $\underbrace{11\dots1}_{m+1}.

[Edward_Tur]

$$100111000011111\dots\underbrace{00\dots0}_{2m}\underbrace{11\dots1}_{2m+1}=$$

$$=\frac1{x-1}(x^N-x^{N-1}+x^{N-3}-x^{N-6}+x^{N-10}-x^{N-15}+...+x^{2m+1}-1), N=(2m+1)(m+1),$$

$$\frac12(2m+1-k)(2m+1+1-k)-\frac12k(k+1)=(m+1)(2m-2k+1)\vdots(m+1).$$

[covax]

Как из второй строчки получается третья? Не совсем понятно.
Я бы разбил на слагаемые из подряд идущих единиц и сложил, как в сказке про Гаусса, первое с последним и т.д. По модулю $10^{m+1}$.

UPD. Т.е. не по модулю, а группами по $m+1$ цифр, из-за признака делимости на 11..11.

Примерно так, если сложить одноцветные, получится $222222$ (это картинка для $m=5$)
100111
000011
111000
000111
111100
000000
111111
111000
000000
011111
111111

[covax]

А если нули с единицами поменять местами, не получится ли на шаг сложнее решение?