Случайный процесс

[Zazaqa]

Задача оценить случайный процесс:

$dx_t = a_1 \cdot (t^{a_2} - x_t) \cdot dt + t \cdot \sigma \cdot dW_t$

надо оценить параметры: $a_1 > 0, a_2, \sigma > 0$
Пытаюсь искать максимум следующей функции правдоподобия по $n$ наблюдениям $\Delta x$:

$L = \sum_{i=1}^n \operatorname{Ln} f(\Delta x_i, a_1 \cdot (t^{a_2} - x_{i-1}) \cdot \Delta t , t \cdot \sigma \cdot \sqrt{dt})$

Где $f(a,b,c)$ есть функция плотности нормального распределения в точке $a$ с мат. ожиданием $b$ и стандартным отклонением $c$.

Все ли я делаю правильно, или надо искать решение для этого процесса? Проблема в том, что коэффициенты получаются странными и линия $t^{a_2}$ вообще не совпадает с направлением процесса, когда получаю оценки, хотя процесс должен вокруг неё виться.
Спасибо.

Lia: Доллары ставьте по краям формул. Исправлено.

[dsge]

Попробуйте разные начальные значения параметров для инициализации процесса максимизации правдоподобия ($a_2>0, a_2<0$). Эта функция, скорее, мультимодальна в вашем случае.

[Zazaqa]

dsge в сообщении #1058041 писал(а):

Попробуйте разные начальные значения параметров для инициализации процесса максимизации правдоподобия ($a_2>0, a_2<0$). Эта функция, скорее, мультимодальна в вашем случае.

Пробовал, подгонял начальные параметры прям под данные. Все равно не сходится как надо.

[dsge]

Zazaqa в сообщении #1057980 писал(а):

Пытаюсь искать максимум следующей функции правдоподобия по $n$ наблюдениям $\Delta x$:
$L = \sum_{i=1}^n \operatorname{Ln} f(\Delta x_i, a_1 \cdot (t^{a_2} - x_{i-1}) \cdot \Delta t , t \cdot \sigma \cdot \sqrt{dt})$

$t=t_i, = i???$, $dt=\Delta t_{i} ???$

Zazaqa в сообщении #1057980 писал(а):

линия $t^{a_2}$ вообще не совпадает с направлением процесса

Какое у процесса направление?
Примените метод наименьших квадратов, регрессируя $\Delta x_i$ на $a_1 \cdot (t_i^{a_2} - x_{i-1}) $, для нахождения $a_1$ и $a_2$ (а еще лучше метод взвешенных наименьших квадратов с весами $t_i^{-2}$). Полученные значения используйте как начальные значения для метода максимума правдоподобия.

[Zazaqa]

dsge писал(а):

___

Я его решил, так оказалось проще, все заработало.
Спасибо.