Кватернионный Максвелл

[Утундрий]

Совершая очередную серию прыжков в сторону, я напоролся как рыба об лёд на периодически повторяющуюся байку о том, что уравнения Максвелла наиболее естественно записываются в кватернионах, видите ли. Частота напарывания оказалась достаточно велика, чтобы сподвигнуть меня к воспроизведению. Сел я воспроизводить и в итоге воспроизвёл. Посмотрел на получившееся... и воспризвёл ещё два раза, но уже иначе. Однако, как бы я ни воспроизводил, естественности (с кватернионной точки зрения) в воспроизведённом наблюдается крайне мало.

Хотелось бы всё-таки этот вопрос провентилировать.

[arseniiv]

Приделанные для этого кватернионы можно понимать как $C\ell^0_{3,0}(\mathbb R)$, чётную подалгебру алгебры Клиффорда $C\ell_{3,0}(\mathbb R)$, когда правильнее при таких желаниях брать $C\ell_{1,3}(\mathbb R)$, построенную на квадратичной форме как раз сигнатуры $({-}{+}{+}{+})$, если вдруг есть польза от клиффордского произведения.

-- Ср сен 30, 2015 05:59:19 --

А кватернионы — это так, нечайно что-то совпало. Мне так видится по известным вещам, по крайней мере.

[amon]

См. J.C. Maxwell. A treatise on electrisity and magnetism. v.2 p. 257(618) "Quaternion expressions for electromagnetic equations".

[Someone]

http://rexresearch.com/maxwell1/20equations.pdf

[Munin]

Не "наиболее естественно", а как раз, наиболее неестественно :-) Потом Хевисайд, Лоренц и ещё несколько товарищей допилили это до стандартного трёхмерного вида. Попутно разработав векторный анализ и само понятие вектора (распилив кватернион на две части).

[arseniiv]

в конце http://rexresearch.com/maxwell1/20equations.pdf автор писал(а):

This variety can be a hint, that the correct final form has not been found until now.

А чем обычная формулировка в пространстве Минковского без мнимых единиц (не упомянутая там, вроде) автора могла не устроить?

[ИгорЪ]

Когда то я занимался квантовыми группами и "проквантовав" кватернионы искал приложения в физике. Так вот. Если ввести функции кватернионной переменной, по аналогии с комплексной, то условие аналитичности этой функции - кватернионный аналог условий Коши - Римана даст 4 уравнения, которые совпадут с Максвеллом, если специальным образом разместить "вдоль " кватерниона электрическое и магнитное поля $F$, а также плотность заряда и ток $I$. Точнее, заряды и токи будут нарушать условие аналитичности $\partial F=I $. (Простое введение есть в книге Курочкина "Кватернионы в релятивистской физике"). Польза этой записи весьма сомнительна. Ну можно продеформировать кватернионную группу и получить деформированного Максвелла, возможно есть и другие извраты. Максимальную пользу из Коши-Римана извлекают всё таки в комплексном случае в конформных теориях. Только там группа бесконечномерна.

[Name XXX]

arseniiv в сообщении #1057781 писал(а):

Приделанные для этого кватернионы можно понимать как $C\ell^0_{3,0}(\mathbb R)$, чётную подалгебру алгебры Клиффорда $C\ell_{3,0}(\mathbb R)$, когда правильнее при таких желаниях брать $C\ell_{1,3}(\mathbb R)$, построенную на квадратичной форме как раз сигнатуры $({-}{+}{+}{+})$, если вдруг есть польза от клиффордского произведения.

-- Ср сен 30, 2015 05:59:19 --

А кватернионы — это так, нечайно что-то совпало. Мне так видится по известным вещам, по крайней мере.

А по-моему, никакой случайности нет, поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между кватернионом (в представлении матрицами Паули и единичной матрицей) $A\text{1} + \mathbf b \cdot \mathbf \sigma$ и 4-вектором $C^{\mu} = (A, \mathbf b)$.

[arseniiv]

Ха. А ещё существует взаимно однозначное соответствие между любыми другими двумя четырёхмерными вещественными линейными пространствами, и что? Уже добавляя естественную для данных случаев квадратичную форму, получим у кватерниона её сигнатуру $({+}{+}{+}{+})$, а у 4-вектора см. выше.

Name XXX в сообщении #1059615 писал(а):

(в представлении матрицами Паули и единичной матрицей) $A\text{1} + \mathbf b \cdot \mathbf \sigma$

(1) Зачем в представлении матрицами? Кватернионы сами по себе чем-то плохи?
(2) У матриц Паули квадраты равны единичной, а не минус-единичной.

[Утундрий]

Гм...

$$\left\{ \begin{aligned} {\mathbf{e}}_{,t} - \nabla \times {\mathbf{b}} = 0 \\ {\mathbf{b}}_{,t} + \nabla \times {\mathbf{e}} = 0 \\ \nabla \cdot {\mathbf{e}} = 0 \\ \nabla \cdot {\mathbf{b}} = 0 \\ \end{aligned} \right.$$

Можно записать в виде

$$D \circ \left( {\begin{array}{*{20}c} {\mathbf{e}} \\ {\mathbf{b}} \\ \end{array} } \right) = 0$$

где

$$D \equiv \partial _t + \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - 1} \\ 1 & 0 \\ \end{array} } \right)\nabla $$

Напрашивается "естественное" обобщение до

$$D \circ \left( {\begin{array}{*{20}c} {\varepsilon + {\mathbf{e}}} \\ {\beta + {\mathbf{b}}} \\ \end{array} } \right) = 0$$

или, проще говоря, до

$$\left\{ \begin{aligned} {\mathbf{e}}_{,t} - \nabla \times {\mathbf{b}} - \nabla \beta = 0 \\ {\mathbf{b}}_{,t} + \nabla \times {\mathbf{e}} + \nabla \varepsilon = 0 \\ \beta_t - \nabla \cdot {\mathbf{e}} = 0 \\ \varepsilon_t + \nabla \cdot {\mathbf{b}} = 0 \\ \end{aligned} \right.$$

Что можно сказать об этой системе?

[SergeyGubanov]

Для совместности...

$$ \varepsilon_{t t} - \nabla \cdot \nabla \varepsilon = 0 $$

$$ \beta_{t t} - \nabla \cdot \nabla \beta = 0 $$