Исследовать интеграл на сходимость

[kp9r4d]

Исследовать на сходимость интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2 \sin^2 (x)} dx$
Я решал следующим образом. Во-первых сразу перейдём к задаче исследования на сходимость $\int_0^{+\infty} e^{-x^2 \sin^2 (x)} dx$ так как функция чётна, то если этот интеграл сходится, то сходится и тот. Введём теперь обозначение $\mu_k (f > C) := \mu(\{x \in [\pi k .. \pi (k+1)] : f(x) > C \})$, где $\mu$ - стандартная мера Лебега.

Теперь оценим $\mu_k(e^{-x^2 \sin^2 (x)} > C)$ сверху.

$$e^{-x^2 \sin^2(x)} > C$$

$$|x \sin x| < \sqrt{- \ln C}$$

Так как $|\sin x| \leqslant 1$ и $x \geqslant 0$ на промежутке $[0 .. \infty)$, то из $x < \sqrt{- \ln C}$ следует $|x \sin x| < \sqrt{- \ln C}$ на том же промежутке. Отсюда следует, что $\mu_k(e^{-x^2 \sin^2 (x)} > C) \leqslant \mu_k (x < \sqrt{-\ln C})$.

Далее:

$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2 \sin^2(x)} dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_{\pi k}^{\pi (k+1)} e^{-x^2 \sin^2(x)} dx \leqslant $$

$$\leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} \mu_k(e^{-x^2 \sin^2(x)} > C_k) + C_k (\pi - \mu_k( e^{-x^2 \sin^2(x)} > C_k)) \leqslant$$

$C_k$ - любая последовательность неотрицательных чисел. Последнее неравенство просто очень понять: мы смотрим на функцию на отрезке $[\pi k .. \pi (k+1)]$ проводим прямую $y = C_k$ всё что сверху от неё оцениваем единицей, а всё что снизу от неё, оцениваем $C_k$. Дальше:

$$\leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} \mu_k(e^{-x^2 \sin^2(x)} > C_k) + C_k \pi \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} \mu_k(x < \sqrt{- \ln C_k}) + C_k \pi = $$

теперь возьмём $C_k = (k+1)^{-2}$. Получим

$$ = \frac{\pi^3}{6} +\sum_{k=0}^{\infty} \mu_k(x < \sqrt{2 \ln (k+1)})$$

однако все $\mu_k(x < \sqrt{2 \ln (k+1)})$ тождественно равны нулю, так как неравенство $\pi x < \sqrt{2 \ln (x+1)}$ решений не имеет при $x \geqslant \pi$, а при $k= 0$ всё и так очевидно. Поэтому получаем оценку

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2 \sin^2 (x)} dx \leqslant \frac{\pi^3}{3}$$

.

Однако в авторском решении пишут, что интеграл расходится. Где у меня ошибка?

[Brukvalub]

kp9r4d в сообщении #1057396 писал(а):

Далее:

$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2 \sin(x^2)} dx = ...$$

Вроде, начиналось-то все с несколько иной функции под интегралом...

[kp9r4d]

Brukvalub
Опечатки, поисправлял.

[Brukvalub]

Ясно, что в окрестности нулей синуса подынтегральная функция близка к $1$, а вы умудрились "вчистую" оценить ее маленьким числом, что абсурдно. Дальше не рылся, лень...

[kp9r4d]

Brukvalub в сообщении #1057415 писал(а):

а вы умудрились "вчистую" оценить ее маленьким числом

В грязную. У меня оценка отдельно для тех частей функции, которые близко к единице и для тех, которые от неё далеко.

[Brukvalub]

kp9r4d в сообщении #1057396 писал(а):

однако все $\mu_k(x < \sqrt{2 \ln (k+1)})$ тождественно равны нулю, так как неравенство $\pi x < \sqrt{2 \ln (x+1)}$ решений не имеет при $x \geqslant \pi$, а при $k= 0$ всё и так очевидно.

Оценивали-то "в грязную", но немного перенапряглись и Асилили оценить "вчистую".

[NSKuber]

kp9r4d в сообщении #1057396 писал(а):

то из $x < \sqrt{- \ln C}$ следует $|x \sin x| < \sqrt{- \ln C}$ на том же промежутке. Отсюда следует, что $\mu_k(e^{-x^2 \sin^2 (x)} > C) \leqslant \mu_k (x < \sqrt{-\ln C})$.

Если из $A$ следует $B$, то $A\subseteq B$, а значит $\mu (A)\leq \mu (B)$, а у вас наоборот.

[kp9r4d]

Да, ошибка понятна, спасибо.

[ewert]

На каждом периоде оценивается через гауссовский колокольчик и далее через гармонический ряд.

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1057396 писал(а):

Введём теперь обозначение $\mu_k (f > C) := \mu(\{x \in [\pi k .. \pi (k+1)] : f(x) > C \})$, где $\mu$ - стандартная мера Лебега.

kp9r4d в сообщении #1057396 писал(а):

Получим

$$ = \frac{\pi^3}{6} +\sum_{k=0}^{\infty} \mu_k(x < \sqrt{2 \ln (k+1)})$$

а это -- какое-то довольно оригинальное безумие

[kp9r4d]

Да, действительно

$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2 \sin^2(x)} dx \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{2 \pi k}^{2 \pi k + k^{-1}} e^{-x^2 \sin^2(x)} dx \geqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\exp(-(2\pi k + k^{-1})\sin^2(k^{-1}))}{k} \geqslant $$

$$\geqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\exp(-(2\pi k +k^{-1}) k^{-2}) }{k}$$

последний ряд расходится, так как его общий член эквивалентен $\frac{\exp(-4\pi^2)}{k}$.

[ewert]

Один квадрат потерян, а так ничего.