Аналитична ли аналитическая функция аналитической функции?

[Divergence]

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ вещественно-значные функции $x \in \mathbb{R}$, представимые в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости

$$f(x):=\sum^{\infty}_{n=0} f_n \, x^n \quad (|x|<\infty), $$

$$g(x):=\sum^{\infty}_{n=0} g_n \, x^n \quad (|x|<\infty). $$

Вопрос: Всегда ли функция $h(x):=(f\circ g)(x):=f(g(x))$ тоже представима в виде степенного ряда с бесконечным радиусом сходимости

$$h(x):=\sum^{\infty}_{n=0} h_n \, x^n \quad (|x|<\infty) \ ? $$

Или существуют контр-примеры?

[kp9r4d]

Тю, конечно. Радиус сходимости бесконечно дифференцируемой функции равен расстоянию до множества особых точек, если взять композицию двух бесконечно дифференцируемых функций без особых точек, то особых точек не появится.

[Divergence]

А где нибудь это написано, или это столь очевидно, что нигде никто не написал?
Не подскажите ссылку?

[kp9r4d]

Divergence
Ну, вообще это азы учения о голоморфных функциях, написанные в любом учебнике по комплексному анализу. Но есть, например Львовский "Лекции по математическому анализу" у него предложение 12.8 как раз то, что нужно вам - доказывается через какие-то там оценки, можете посмотреть.