Выпуклый четырёхугольник с необычной точкой внутри

[Ktina]

Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка $P$ внутри него, что сумма расстояний от $P$ до вершин больше периметра четырёхугольника?

У меня контрпример такой: трапеция с координатами $(0, 0),\quad (69, 0),\quad (69, 1),\quad (68, 1)$ и точка внутри неё, расположенная достаточно близко к вершине $(0, 0)$.

Полагаю, что в общем случае сумма расстояний от $P$ до вершин не может превышать периметр в полтора или более раз. Это так? Если да, то как это доказать?

Пожалуйста, помогите решить.

[Dan B-Yallay]

В общем случае берется выпуклый 4-угольник, у которого 2 смежные (и равные стороны) ну оооооооооочень длиннее, чем другие две. Периметр этого прямоугольника практически равен сумме длин тех двух сторон, скажем 2$a$.
Соответственно, взяв точку ооооочень близко к вершине, образованной длинными сторонами, получим расстояния от нее до вершин $\approx$ 3$a$. Отсюда Ваши 3/2. Исессно, строгое формальное доказательство существенно занудней.

Есть похожая задача про два тетраэдра, вложенных один в другой. Надо доказать, что длина ребер внутреннего не превоcxодит 4/3 длин ребер внешнего.
Доказываются практически одинаково.

[Ktina]

Dan B-Yallay
Большое спасибо!