2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 могут ли два эллипса образовать пару кривых Бертрана
Сообщение20.11.2007, 23:35 
собственно вопрос, наверное сводится к тому, могут ли два эллипса иметь в соответствующих точках общие нормали

 
 
 
 
Сообщение21.11.2007, 09:47 
Аватара пользователя
Эх, кабы ещё знать, что есть кривые Бертрана :oops:

 
 
 
 
Сообщение21.11.2007, 18:11 
Аватара пользователя
Т.е. фактически нужно найти два эллипса, касающихся двух данных прямых в данных точках? Если да, то таких эллипсов целое семейство: $\lambda m + \mu f g$, где $f,g$ --- уравнения касательных, а $m$ --- уравнение прямой, соединяющей точки касания.

 
 
 
 
Сообщение22.11.2007, 10:37 
Вопрос в том, существуют ли два эллипса, понятно что с общим центром и разными эксцентриситетами, расстояние между соответствующими точками которых постоянно
Скорее всего, нет, но возможно кто-то покажет, что я не прав.

PS соответствующие не значит коллинеарные с центром, а значит касательные в этих точках параллельны и перпендикулярны общей нормали

 
 
 
 
Сообщение22.11.2007, 13:10 
Ну, возьмите эллипс, $x=a\cos t$, $y=b\sin t$. Возьмите отнормированные направления нормалей: подозреваю, $n_x=\frac{b\cos t}{N}$, $n_y=\frac{a\sin t}{N}$, где $N=\sqrt{(b\cos t)^2+(a\sin t)^2}$. Новая кривая --- $X(t)=x(t)+Dn_x(t)$, $Y(t)=y(t)+Dn_y(t)$. Исключаем $t$ (может, компутер потребуется). Получаем семейство кривых $F(X,Y;D)=0$, наверное 8-го порядка. Видим, что никак не эллипсы (т.е. надеюсь, что увидим). Кажется, я в юности это проделывал.


Подзабыл --- действительно эквидистанты и кривые Бертрана на плоскости --- это одно и тоже? Похоже да...

 
 
 
 
Сообщение22.11.2007, 22:06 
Алексей К. писал(а):
Ну, возьмите эллипс, $x=a\cos t$, $y=b\sin t$. Возьмите отнормированные направления нормалей: подозреваю, $n_x=\frac{b\cos t}{N}$, $n_y=\frac{a\sin t}{N}$, где $N=\sqrt{(b\cos t)^2+(a\sin t)^2}$. Новая кривая --- $X(t)=x(t)+Dn_x(t)$, $Y(t)=y(t)+Dn_y(t)$. Исключаем $t$ (может, компутер потребуется). Получаем семейство кривых $F(X,Y;D)=0$, наверное 8-го порядка. Видим, что никак не эллипсы (т.е. надеюсь, что увидим). Кажется, я в юности это проделывал.

Подзабыл --- действительно эквидистанты и кривые Бертрана на плоскости --- это одно и тоже? Похоже да...


Описанный Вами процесс позволяет получить именно эквидистанту, то есть кривую, расстояние от каждой точки которой до эллипса постоянно, но это не значит что расстояние от точки эллипса доэтой кривой равно тому же числу.

Две кривые Бертрана можно получить, если откладывать равные отрезки на обоих направлениях нормали - имеем две кривые наверно 8-го порядка между которыми находится эллипс.
То есть эллипс типа "направляющая" для них.
Вопрос, наоборот: существует ли кривая, "направляющая" для двух эллипсов.

 
 
 
 
Сообщение23.11.2007, 11:26 
PM писал(а):
Вопрос, наоборот: существует ли кривая, "направляющая" для двух эллипсов.

На этот вопрос я и пытался ответить. Если такая кривая существует, то два эллипса окажутся эквидистантными (перпендикуляр-то общий по обе стороны от "направляющей"). Узнав, что эквидистантных эллипсов не бывает, мы вроде как узнаем, что не бывает и такой кривой.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group