Длинные числа

[Munuvonaza]

Здравствуйте, уважаемые эксперты по математике! Наиболее известным и распространенным является способ счисления, построенный на натуральных, целых, рациональных и вещественных числах, для которых давно известны свойства, правила проведения операций и теоретико-множественные параметры, тем не менее все вещественные числа никак не представимы в физическом мире, поскольку большинство из них не имеет конструктивного представления, поэтому в некотором плане неинтересны

Можно построить некоторую альтернативную числовую модель, в которой каждое число будет конструктивным, и при этом можно легко выполнять с ними привычные арифметические операции, и в некотором плане все они будут физичными
Существует один интересный факт - сумма последовательности $\sum_{x=0}^\infty{2^x} $ вроде бы как не определена, поскольку ряд считается расходящимся, однако если выполнить простую манипуляцию, получается $\sum{2^x} = -1$; этот результат, довольно непривычный для классической математики, можно интерпретировать как представление любого числа в виде двоичного слова бесконечной точности

Формально можно описать числа следующим образом: пусть имеется некоторая упорядоченная последовательность элементов $n_i$, где $n_i \in \{0,1\}$, в таком случае на каждой $i$-ой позиции находится очередной разряд числа, начиная с самого младшего
Любое обычное натуральное число можно получить в виде $N = \sum{n_i \cdot 2^i}$, если взять любое счетное число ненулевых разрядов
Сложение таких чисел определяется поразрядно, как и двоичных слов - сопоставляется коэффициенты при одинаковых степенях, если оба коэффициента равны единице, то единица переносится в последующий разряд, и так далее

Далее довольно несложно построить отрицательные числа - количественная часть выстраивается аналогично положительному числу, а знак определяется единицей или нулем на $\omega$-ой позиции, причем далее на $\omega + 1$-ую позиции число никогда не переносится
Аналогично можно определить и дробные числа, как соотношение двух таких двоичных слов, для которых определены такие же операции, как и для обычных рациональных дробей

Из минусов предлагаемой числовой системы можно выделить пожалуй два: во-первых сложение очень больших положительных чисел может дать отрицательное, а во-вторых обычные рациональные дроби будут иметь бесконечно много вариантов представления в виде вышеуказанных отношений; правда и то и другое не представляет никаких сложностей
Из очевидного плюса - не нужны никакие городушки из непонятных неконструктивных вещественных чисел, абсолютно любую величину можно представить один или двумя числами соответствующего формата, и что самое главное - арифметика очень проста и удобна

Вопрос - отчего предложенного вида числа не используются в математическом анализе? Это ведь значительно проще и удобнее, чем оперировать со множеством неуправляемых неконструктивных чисел

[Brukvalub]

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

все вещественные числа никак не представимы в физическом мире, поскольку большинство из них не имеет конструктивного представления, поэтому в некотором плане неинтересны

Если начать рассуждения с ложного посыла, то можно говорить что вздумается.
Иными словами, из лжи прекрасно выводима ложь.

[Munuvonaza]

Brukvalub в сообщении #1056565 писал(а):

Если начать рассуждения с ложного посыла, то можно говорить что вздумается.
Иными словами, из лжи прекрасно выводима ложь.

Вы еще скажите, что можно создать компьютер, оперирующий действительными числами, или измерить физическую величину с *бесконечной* точностью? Впрочем, это не имеет прямого отношения к исходному вопросу, поднимаемому в теме

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: пока сюда. Помощь не требуется.

[Brukvalub]

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Любое обычное натуральное число можно получить в виде $N = \sum{n_i \cdot 2^i}$, если взять любое счетное число ненулевых разрядов

А "любое счетное число ненулевых разрядов" уже научились записывать в памяти компьютера?

[Dmitriy40]

А чем предлагаемое отличается от прямого двоичного кода? И отношение двух таких чисел от обычных рациональных чисел? Три раза перечитал, так и не понял. Соответственно и иррациональные в таком виде не представимы.

[Begemot82]

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Далее довольно несложно построить отрицательные числа - количественная часть выстраивается аналогично положительному числу, а знак определяется единицей или нулем на $\omega$-ой позиции, причем далее на $\omega + 1$-ую позиции число никогда не переносится

А вот с этого места подробнее. Что такое $\omega$ и $\omega + 1$ позиции ?

[Brukvalub]

Dmitriy40 в сообщении #1056575 писал(а):

А чем предлагаемое отличается от прямого двоичного кода?

Вот чем:

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Любое обычное натуральное число можно получить в виде $N = \sum{n_i \cdot 2^i}$, если взять любое счетное число ненулевых разрядов

В прямом двоичном коде натуральное число записывается конечным числом ненулевых разрядов, а здесь - счетным числом ненулевых разрядов, что значительно экономнее расходует память компьютера и выглядит конструктивнее.

[Munuvonaza]

Begemot82 в сообщении #1056577 писал(а):

А вот с этого места подробнее. Что такое $\omega$ и $\omega + 1$ позиции ?

Предлагаемое число конструируется и упорядоченной последовательности единиц и нулей, каждый из которых расположен на своей позиции, что в свою очередь может быть задано порядковым числом; $\omega$ и $\omega + 1$ - трансфинитные порядковые позиции

Brukvalub в сообщении #1056573 писал(а):

А "любое счетное число ненулевых разрядов" уже научились записывать в памяти компьютера?

К сожалению не научились, однако можно оперировать в некотором диапазоне, по аналогии как сейчас компьютерные слова имеют ограничение по длине, по предлагаемая модель работает и при бесконечном числе разрядов

Dmitriy40 в сообщении #1056575 писал(а):

Соответственно и иррациональные в таком виде не представимы

По идее не только представимы, но к тому же имеют очень большое, если не бесконечное число представлений для каждого обычного числа
Можно даже реализовать алгоритм, который будет переводить любое вещественное число в диапазоне $[0-1]$ в дробь из двух чисел нового типа, ну а любое вещественное число можно отразить в этот диапазон при помощи несложных манипуляций с тангенсом или котангенсом

[Begemot82]

Munuvonaza в сообщении #1056599 писал(а):

$\omega$ и $\omega + 1$ - трансфинитные порядковые позиции

Одно слово - подробно?
Где располагают $\omega$ и $\omega + 1$ , что такое трансфинитные порядковые позиции.

Munuvonaza в сообщении #1056599 писал(а):

К сожалению не научились,

Как же будете оперировать с вещественными числами. Ждать, когда научатся

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не удовлетворяет требованиям дискуссионного раздела

Munuvonaza

правила писал(а):

3.1. Дискуссионная тема должна иметь максимально четкую формулировку и обоснования, принятые в той дисциплине, к которой они относятся. В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны....

Приведите тему в соответствие с правилами.

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Существует один интересный факт - сумма последовательности $\sum_{x=0}^\infty{2^x} $ вроде бы как не определена, поскольку ряд считается расходящимся, однако если выполнить простую манипуляцию, получается $\sum{2^x} = -1$;

Приведите попытку доказательства.

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

пусть имеется некоторая упорядоченная последовательность элементов $n_i$, где $n_i \in \{0,1\}$, в таком случае на каждой $i$-ой позиции находится очередной разряд числа, начиная с самого младшего

Укажите область значения индекса $i$.

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Любое обычное натуральное число можно получить в виде $N = \sum{n_i \cdot 2^i}$, если взять любое счетное число ненулевых разрядов

Приведите попытку "доказательства" этого утверждения, либо уточните формулировку.
В случае, если $i$ пробегает не подмножество $\mathbb{N}$, укажите смысла знака $\sum$.

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Далее довольно несложно построить отрицательные числа - количественная часть выстраивается аналогично положительному числу, а знак определяется единицей или нулем на $\omega$-ой позиции,

Определите понятия "количественная часть", "$\omega$-ая позиция".

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

причем далее на $\omega + 1$-ую позиции число никогда не переносится

докажите, что это не противоречит условию

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Сложение таких чисел определяется поразрядно, как и двоичных слов - сопоставляется коэффициенты при одинаковых степенях, если оба коэффициента равны единице, то единица переносится в последующий разряд, и так далее

Munuvonaza в сообщении #1056564 писал(а):

Из очевидного плюса - не нужны никакие городушки из непонятных неконструктивных вещественных чисел, абсолютно любую величину можно представить один или двумя числами соответствующего формата, и что самое главное - арифметика очень проста и удобна

Сформулируйте утверждения корректно. В Вашем случае неконструктивные числа также существуют.

См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.