Доказать симметричность эквивалентности

[Atmaks]

В задачнике Садовничего по матанализу приводится такое определение:
$f(x)\sim g(x) $ при $x \to a $, если $f(x) = \alpha (x) g(x)$, где $\alpha(x) \to 1$ при $x \to a $
Первая задача этого раздела - доказать симметричность этого отношения. Не могу сообразить. Вроде можно просто поделить на $\alpha(x)$, но ведь она может обращаться в нуль?

[NSKuber]

Atmaks в сообщении #1056466 писал(а):

но ведь она может обращаться в нуль?

А достаточно близко к $a$ $\alpha(x)$ может в нуль обращаться?

[Atmaks]

Я правильно понял, что вы предлагаете воспользоваться определением предела и взять $\varepsilon < 1$? Но ведь равенство должно выполняться при всех допустимых значениях $x$, не так ли? Всё равно боюсь делить.

[Xaositect]

В определении пропущена мелочь. Должно быть: $f\sim g$ при $x\to a$, если в некоторой окрестности точки $a$ для некоторой $\alpha(x)$ такой, что $\alpha(x)\to 1$ при $x\to a$, верно $f(x) = \alpha(x)g(x)$.

[Brukvalub]

Atmaks в сообщении #1056474 писал(а):

равенство должно выполняться при всех допустимых значениях $x$, не так ли?

Нет, равенство должно выполняться локально, то есть в какой-нибудь окрестности точки $a$. Но, если вы хотите, чтобы равенство выполнялось всюду, достаточно переопределить функцию $\alpha(x)$ в ее нулях.

Atmaks в сообщении #1056474 писал(а):

Всё равно боюсь делить.

Уверяю, это не больно!

[Xaositect]

Brukvalub в сообщении #1056477 писал(а):

Но, если вы хотите, чтобы равенство выполнялось всюду, достаточно переопределить функцию $\alpha(x)$ в ее нулях.

Нет. Например, такой функции $\alpha$, чтобы $\alpha(x) \sin x = x$ везде, не существует.

[Atmaks]

Думаю, Хаоситект прав насчёт локального свойства! Всем спасибо, разобрался.

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #1056478 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1056477 писал(а):

Но, если вы хотите, чтобы равенство выполнялось всюду, достаточно переопределить функцию $\alpha(x)$ в ее нулях.

Нет. Например, такой функции $\alpha$, чтобы $\alpha(x) \sin x = x$ везде, не существует.

Вы правы, я поспешил...