2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложить многочлен на множители второй степени
Сообщение20.11.2007, 21:51 


19/12/06
164
Россия, Москва
Многочлен $x^8 - 16$ представить в виде произведения многочленов второй степени

Дошел до того, что

$(x^2 - 2)(x^2 +2)(x^4 + 4) = x^8 - 16$

Не знаю как представить $(x^4 + 4)$ в виде произведения многочленов второй степени.
Подскажите пожалйста

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
\[
x^4  + 4 = x^4  + 4x^2  + 4 - 4x^2  = ...
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 22:29 


19/12/06
164
Россия, Москва
Непонятно.
расскажите пожалйста по подробней

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
KiberMath писал(а):
расскажите пожалйста по подробней
Шутку оценил. Уже начинаю смеяться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 22:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Честно говоря, я подсказку тоже не понял. Но с теоретической точки зрения задача решается так. Любой многочлен имеет столько комплексных корней, какова его степень, а сам многочлен представляется в виде произведения соответствующих одночленов (комплексных). При этом если коэффициенты многочлена вещественные, то вместе с любым комплексным корнем также корнем является его сопряжение. Произведение соответствующих двух одночленов даст как раз множитель второй степени уже с вещественными коэффициентами.

Именно поэтому любой вещественный многочлен можно разложить в произведение сомножителей первой и второй степеней.

В данном случае комплексные корни можно найти.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
PAV писал(а):
Честно говоря, я подсказку тоже не понял
Ну, тогда придётся объяснить подробнее :D\[
x^4  + 4 = x^4  + 4x^2  + 4 - 4x^2  = (x^2  + 2)^2  - (2x)^2  = (x^2  + 2x + 2)(x^2  - 2x + 2)\]
KiberMath писал(а):
Многочлен x^8 - 16 представить в виде произведения многочленов второй степени
Требуемое достигнуто. Наверное, я действительно напрасно сразу не написал всё решение :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 23:18 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Да, понятно. А если не догадаться до этого и не знать про комплексные числа, то нужно было в общем виде написать два многочлена второй степени с 4 неизвестными коэффициентами (старшие - по 1), перемножить и приравнять к требуемому. Получится 4 уравнения (правда, нелинейных), которые, наверное, можно решить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2007, 23:46 


19/12/06
164
Россия, Москва
PAV
Я пытался решать систему уравнений - без идей что с ней делать
Догадаться до
Brukvalub писал(а):
\[
x^4  + 4 = x^4  + 4x^2  + 4 - 4x^2  = (x^2  + 2)^2  - (2x)^2  = (x^2  + 2x + 2)(x^2  - 2x + 2)\]

Для меня тоже оч сложно

Проще оказалось почитать про комплексные чилса

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group