2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 19:56 


09/05/15
25
Санкт-Петербург
Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста.
Задание:
Дана квадратичная форма: $4x_1x_2+4x_1x_2+4x_2x_3$
Привести к каноническому виду, записать преобразование в развернутом и матричном видах, сделать проверку в матричной форме.
Мое решение
Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$
Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=$$\begin{pmatrix}
 1&0&0 \\
 0 &1&0\\
 1 &1 &1
\end{pmatrix}$$
Подставил данные значения и получил матрицу квадратичной формы:
$$\begin{pmatrix}
 4&6&2\\
6&4&2\\
2 & 2 & 0
\end{pmatrix}$$
С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=$$\begin{pmatrix}
 1&0  &0 \\
 -3/2&  1& 0\\
 -1/5& -1/5 &1 
\end{pmatrix}$$
Общая матрица преобразования равна произведению матриц двух преобразований? :
$C^{T}=
$$\begin{pmatrix}
X^{T} 
\end{pmatrix}$$\cdot\begin{pmatrix}
Y^{T}
\end{pmatrix}$
Просто при проверке с помощью $Z=C^{T}AC$ верного ответа не получается. Подскажите, что я делаю не правильно? Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 20:26 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Почему бы вам не использовать метод Лагранжа?

san_raise в сообщении #1056333 писал(а):
Следовательно, матрица преобразования будет:
$X^{T}$=$$\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0 &1&0\\
1 &1 &1
\end{pmatrix}$$
Видимо, вы имеете в виду: $x=X^Ty.$
san_raise в сообщении #1056333 писал(а):
С помощью преобразований с ортогональной матрицей получаю вторую матрицу преобразования:
$Y^{T}$=$$\begin{pmatrix}
1&0  &0 \\
-3/2&  1& 0\\
-1/5& -1/5 &1 
\end{pmatrix}$$
Видимо, вы имеете в виду: $y=Y^Tz.$

Итого: $x=X^TY^Tz.$

Была форма $x^TAx:$ подставляя, получим $zYXAX^TY^Tz.$

Если у вас это произведение недиагонально, то вы где-то не так посчитали.

Так почему бы не использовать метод Лагранжа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение24.09.2015, 22:10 


09/05/15
25
Санкт-Петербург
Slav-27
Спасибо. Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение25.09.2015, 06:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5730
Новосибирск

(Оффтоп)

Если хочешь быть счастливым - будь им
san_raise в сообщении #1056379 писал(а):
если нет ведущих

создайте их. Вам поможет тождество $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение25.09.2015, 08:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
san_raise в сообщении #1056379 писал(а):
Скажите, пожалуйста, как можно решить методом Лагранжа, если нет ведущих?

Так вы же их создали:
Slav-27 в сообщении #1056344 писал(а):
Выполним преобразование, чтобы избавиться от нулей на главной диагонали:
$x_1=y_1$
$x_2=y_2$
$x_3=y_1+y_2+y_3$

:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Сообщение27.09.2015, 19:08 


09/05/15
25
Санкт-Петербург
bot
Brukvalub
Большое спасибо, разобрался :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group