2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 12:40 
Аватара пользователя
Скажите, пожалуйста, вот есть линейное диф. уравнение типа $\nabla^2 f(x) = g(x)$. Правильно ли я понимаю, что его можно решать следующим образом: для начала находится функция Грина, т.е. решается уравнение вида $\nabla^2 G(x) = \delta (x)$ и находится функция $G(x)$. А далее, чтобы найти исходную функцию $f(x)$ делается свёртка гриновской функции с правой частью, т.е. берётся интеграл вида
$$f(x) = \int g(x)\бG(x-x') dx.$$ Это верно?

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 14:58 
Аватара пользователя
Выходит, если справа в уравнении поставить нуль, то докажется, что все гармонические функции - тождественно равны 0? :shock:

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 20:45 
Кроме того: если это и верно, то разве что в теории. Функцию Грина в явном виде всё равно не найти, а если б и нашли -- умучались бы потом считать с ней свёртку.

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 21:29 
Аватара пользователя
Ну не всегда. Для некоторых задач функцию Грина не только можно найти, но даже и найти в справочниках. Ну а свёртку считать - да хоть численно, это тоже бывает существенно проще, чем решать дифур с нуля.

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 22:21 
Аватара пользователя
Ну да, конечно, это верно. Что-то рассудок помутился. Зачем спрашивал, прямой подстановкой проверяется ж.

Brukvalub в сообщении #1056230 писал(а):
Выходит, если справа в уравнении поставить нуль, то докажется, что все гармонические функции - тождественно равны 0? :shock:

Спокойно. Не надо так за гармонические функции переживать. С ними всё хорошо.

Munin писал(а):
Ну а свёртку считать - да хоть численно, это тоже бывает существенно проще

У меня как раз такая ситуация.

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение24.09.2015, 23:17 
r0ma в сообщении #1056385 писал(а):
У меня как раз такая ситуация.

Значит, у Вас или шар, или круг. Вы -- сектант.

Но даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение25.09.2015, 00:06 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1056397 писал(а):
даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

ГИУ же...

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение25.09.2015, 17:55 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #1056397 писал(а):
Значит, у Вас или шар, или круг. Вы -- сектант.

Но даже и в этом случае считать кратные интегралы с особенностями -- нерадостно.

С сектантством спорить не буду, но что касается симметрии, то она цилиндрическая. По $r$ простирается от $0$ до $+\infty$. NIntegrate в Математике свёртку вроде берёт без особых проблем. Аналитически, конечно, я понятия не имею как этого монстра считать.

 
 
 
 Re: Метод функций Грина
Сообщение25.09.2015, 18:16 
Аватара пользователя
r0ma в сообщении #1056582 писал(а):
что касается симметрии, то она цилиндрическая
Если $g$ не зависит от угла, то ответ сразу пишется в квадратурах (потенциал провода, неравномерно заряженного по $\rho$), и функции Грина вроде как не нужны. Или я чего-то не понял?

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group