2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Комбинаторика vs теорвер
Сообщение24.08.2015, 17:19 


12/07/15
2907
г. Чехов
 i  Deggial: обсуждение выделено из темы Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации.
Название темы дано несколько наугад. Тег оффтопа убран.
Замечания и предложения просьба писать в ЛС или в жалобы.


(цитата для связности)

_nobody в сообщении #841302 писал(а):
Добрый день.

Как известно, для случайной величины $X$ (пусть у нее существуют требуемые моменты) определяют такие числовые характеристики, как коэффициент асимметрии $\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$, коэффициент эксцесса $\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$ и коэффициент вариации $V=\frac{\sigma}{\mathrm{M}X}$, где $\mu_k=\mathrm{M}\left[\left(X-\mathrm{M}X\right)^k\right]$ — центральный момент $k$-ого порядка, $\sigma=\sqrt{\mathrm{D}X}=\sqrt{\mathrm{M}\left[\left(X-\mathrm{M}X\right)^2\right]}$ — среднеквадратическое отклонение.

Везде пишут смысл этих коэффициентов:
  • коэффициент асимметрии — мера асимметричности: $\gamma_1=0$ в случае симметричности распределения относительно мат.ожидания, $\gamma_1<0$ в случае левой асимметрии (отн. мат.ожидания левый хвост длиннее правого), $\gamma_1>0$ в случае правой асимметрии (отн. мат.ожидания правый хвост длиннее левого),
  • коэффициент эксцесса — мера остроты пика по сравнению с нормальным распределением: $\gamma_2=0$ в случае так называемого нормального эксцесса (в силу того, что у нормального распределения тоже $\gamma_2=0$), $\gamma_2<0$ в случае дефекта (т.н. отрицательный эксцесс, когда в окрестности моды более низкая и плоская вершина, чем у нормального распределения), $\gamma_2>0$ в случае эксцесса (т.н. положительный эксцесс, когда в окрестности моды более острый и высокий пик, чем у нормального распределения), хотя приведенная интерпретация не всегда верна.
  • коэффициент вариации — еще одна (в списке: дисперсия, СКО, разброс, интерквартильный разборс и др.) мера рассеивания, разбросанности.
Но мне не доводилось встречать, где бы было описано, почему в формулах выбраны именно такие моменты и именно таких порядков, почему берется именно отношение этих моментов, а не другая операция? Может, есть какие книги, где об этом рассказывалось?


Тема старая, но на всякий случай сообщу о своих мыслях. Допустим имеется $n$ случайных чисел.
1. Если известен первый момент (среднее), то можно вычислить сумму $n$ чисел.
2. Если известны первый и второй моменты (среднее и дисперсия), то можно найти сумму $n$ чисел и сумму квадратов $n$ чисел.
3. Если еще вдобавок известен третий момент, то можно еще вычислить сумму кубов $n$ чисел.
4. По первым четырем моментам вычисляются суммы первой-четвертой степеней.
5. И так далее.

То есть можно говорить об однозначном соответствии моментов и сумм степеней чисел. Суммы степеней чисел - это интегральные характеристики массива чисел. Эти интегральные характеристики несут некоторую обобщенную (интегральную) информацию о массиве чисел. В одной из тем я пытался вычислить количество информации, но пока получены формулы только для количества информации, которую скрывает в себе первый момент (среднее). Дальше - сложности, с которыми мне пока трудно справиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение26.08.2015, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Mihaylo в сообщении #1047429 писал(а):
Тема старая, но на всякий случай сообщу о своих мыслях. Допустим имеется $n$ случайных чисел.
1. Если известен первый момент (среднее), то можно вычислить сумму $n$ чисел.
2. Если известны первый и второй моменты (среднее и дисперсия), то можно найти сумму $n$ чисел и сумму квадратов $n$ чисел.
3. Если еще вдобавок известен третий момент, то можно еще вычислить сумму кубов $n$ чисел.
4. По первым четырем моментам вычисляются суммы первой-четвертой степеней.
5. И так далее.

То есть можно говорить об однозначном соответствии моментов и сумм степеней чисел. Суммы степеней чисел - это интегральные характеристики массива чисел. Эти интегральные характеристики несут некоторую обобщенную (интегральную) информацию о массиве чисел. В одной из тем я пытался вычислить количество информации, но пока получены формулы только для количества информации, которую скрывает в себе первый момент (среднее). Дальше - сложности, с которыми мне пока трудно справиться.


По-моему, Вы открыли проблему моментов. Но Чебышев, Марков и Стильтьес успели раньше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение26.08.2015, 19:40 


12/07/15
2907
г. Чехов
Я занимаюсь немного другой тематикой, а именно: теорией информации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение26.08.2015, 21:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
…которая растёт из теории вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение27.08.2015, 04:37 


12/07/15
2907
г. Чехов
у меня она растет из комбинаторики, это очень важно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение27.08.2015, 20:44 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Она не может расти из одной только комбинаторики просто по определению информационной энтропии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение28.08.2015, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Комбинаторный подход предполагает постулирование равноценности вариантов. В частности, их равновероятности. А это не так.
Естественный текст при равновероятности появления букв будет даже не "дыр бул щыр", а вообще какой-то ыРспЧ. В реальном тексте, и это используется теорией информации, скажем, для сжатия или криптографии, есть вероятности букв, вероятности ди- и триграмм (и более длинных последовательностей, но по ним статистику набирать сложнее).
А сам по себе первый момент (и любой иной момент) не несёт информации (хотя, восстановив по совокупности всех моментов распределение, можно посчитать его энтропию, соответственно - информацию в отдельном наблюдении)

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение30.08.2015, 15:22 


12/07/15
2907
г. Чехов
Евгений Машеров писал(а):
Комбинаторный подход предполагает постулирование равноценности вариантов. В частности, их равновероятности. А это не так.

Да, принято почему-то так считать. Однако вероятность - это частота, а частота в свою очередь - это отношение целых чисел (количеств комбинаций)... Вообще ВСЕ пошло из комбинаторики, но почему-то об этом забывают... И даже думают, что комбинаторику можно вывести из теории вероятности, а не наоборот.

-- 30.08.2015, 17:36 --

Обратите внимание на то, как в теме Количество комбинаций с ограничениями формулируется задача без привлечения понятий теории вероятности. Конечная цель той задачи - измерение количества информации, содержащейся в первом моменте (без знания распределения вероятностей!). Затем решалась такая же задача с двумя моментами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение30.08.2015, 22:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mihaylo в сообщении #1049285 писал(а):
Однако вероятность - это частота, а частота в свою очередь - это отношение целых чисел (количеств комбинаций)...
Вы повернули вещи с ног на голову. То, что количества исходов (всех или благоприятных) — всегда целые, никак не делает вероятностей отношениями целых чисел. Предел последовательности рациональных чисел может не быть рациональным, как ни странно.

Mihaylo в сообщении #1049285 писал(а):
Вообще ВСЕ пошло из комбинаторики, но почему-то об этом забывают... И даже думают, что комбинаторику можно вывести из теории вероятности, а не наоборот.
Стоит привести доказательство и к тому, и к этому.

Выразите парочку вероятностных понятий комбинаторно — информационная энтропия с самого начала определяется теоретико-вероятностно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение31.08.2015, 04:44 


12/07/15
2907
г. Чехов

(Оффтоп)

arseniiv писал(а):
Стоит привести доказательство и к тому, и к этому.

Чуть позже, ок? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение01.09.2015, 05:00 


12/07/15
2907
г. Чехов
Евгений Машеров писал(а):
А сам по себе первый момент (и любой иной момент) не несёт информации

Ну согласитесь, что средний рост племени тумба-юмба 1,8 метра - о чем-то говорит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение01.09.2015, 07:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Сам по себе - ни о чём. Только после того, как мы узнаем о разбросе значений роста внутри человеческих групп и между ними. Но поскольку у нас такая информация уже есть, хотя бы неформализованная, мы может извлечь информацию и из сведений о росте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение01.09.2015, 16:22 


12/07/15
2907
г. Чехов
Средняя длина электромоноклов - 1 метр. Это говорит нам о том, какой длины будет следующий электромонокл? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение01.09.2015, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Нет. Если половина электромоноклов имеет длину 0, а половина 2 метра, то следующий может быть 0 или 2 метра с равными шансами. Если 99.99% 0 метров, а 0.01% 10000 метров, то следующий будет, скорее всего, 0 метров, но неожиданно найдётся 10000 метров. Если 1/3 случаев 0.5 и 2/3 случаев 5/4 метра, то ожидать надо 1.25 метра и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл моментов в формулах асимметрии, эксцесса и вариации
Сообщение02.09.2015, 04:27 


12/07/15
2907
г. Чехов
Вы некорректно поставили задачу. Вы знаете об электромоноклах только их среднюю длину. Никаких вероятностей Вы не знаете. Теория Шеннона напрямую не работает. При этом Вы допускаете, что длина может изменяться от 0 до $\infty$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group