Примеры математической ерунды

[amarsianin]

Предлагаю в этой ветке обсудить, кто с какими опубликованными математическими результатами сталкивался, которые формально верны, но по сути представляют собой ерунду с нулевой ценностью.

Как ТС, начну со своего примера.

Всем известно так наз. динамическое программирование, с помощью которого решают произвольные задачи оптимизации с конечным числом состояний.

В последнее время весьма явно развился хайп динамического программирования, применённого к задаче оптимизации с бесконечным горизонтом. Суть в следующем.

Рассмотрим произвольную нелинейную (для простоты дискретную) систему:

$$ x_{k+1}=f(x_k,u_k), $$

где $k$ - это, соответственно, индекс шага, а $u\in\mathbb{R}^{m},x\in\mathbb{R}^{n}$.

Пусть задана положительно определённая функция стоимости $U\left(x,u\right)$. Требуется найти такую функцию $u(x)$, что достигается минимум бесконечной суммы

$$ \sum^{\infty}_{j=0} U\left(x_{j+k},u(x_{j+k})\right) $$

по $u$ для некоторого данного индекса $k$.

Как видим, задача весьма не простая. Предлагается решать её итеративно вот с помощью такого алгоритма:

$$ V_{0}\left(x\right):&\equiv&0, $$

$$ u_{i}\left(x_k\right):&=&\arg\min_{u}\left\{ U\left(x_k,u\right)+V_{i}\left[f\left(x_k,u\right)\right]\right\} ,$$

$$ V_{i+1}\left(x_k\right):&=&U\left(x,u_{i}\left(x_k\right)\right)+V_{i}\left[f\left(x,u_{i}\left(x_k\right)\right)\right] $$

Далее доказывается теорема, что данный алгоритм сходится и предел последовательности $\left\{ V_{i}\left(x_k\right)\right\} _{i}$, действительно, равено минимуму вышеупомянутой бесконечной суммы.

Доказательство весьма простое и состоит главным образом из двух аспектов:
1. предположим, что уравнения

$$ u_{i}\left(x_k\right):&=&\arg\min_{u}\left\{ U\left(x_k,u\right)+V_{i}\left[f\left(x_k,u\right)\right]\right\} ,$$

можно решить аналитически для всех $i$

2. покажем, что $V_{i+1}\left(x_k\right)\geq V_{i}\left(x_k\right)$, а также что $\left\{ V_{i}\left(x_k\right)\right\} _{i}$ имеет верхнюю грань, следовательно, последовательность сходится. Далее покажем, что её предел равен именно

$$ \min_u \sum^{\infty}_{j=0} U\left(x_{j+k},u(x_{j+k})\right) $$

Хорошо, давайте взглянём на всего лишь второй шаг алгоритма. Итак предполагается, что

$$ u_{2}\left(x_{k}\right):=\arg\min_{u}\left\{ U\left(x_{k},u\right)+U\left(f\left(x_{k},u\right),u_{1}\left(\left(x_{k},u\right)\right)\right)+U\left(f\left(f\left(x_{k},u\right),u\right),u_{0}\left[f\left(f\left(x_{k},u\right),u\right)\right]\right)\right\} $$

разрешимо аналитически по $u$ (как функция (!) от $x$).

Далее авторы (и таких людей уже сотни, и статей тысячи, копирующие это доказательство практически один-в-один) утверждают: "Да, уравнения, конечно, скорее всего (!) не решаемы, но мы можем решить их приближённо". И решают приближённо, приплетая всякие модные сейчас вещи типа рекуррентных нейронных сетей и так далее. Разумеется, о сходимости приближённого алгоритма уже никто не говорит, мол, доказали сходимость идеализированного алгоритма и хватит. Поэтому с этой части вы уже никаких доказательств не увидите.

Я считаю, что это яркий пример математической ерунды, которая получила известность благодаря желанию некоторых просто набивать публикации. Ценность данного доказательства, очевидно, нулевая, так как оно начинается с заведомо абсурдного предполжения.

Комментарии и Ваши примеры приветствуются.

[Someone]

Когда я был аспирантом (или, может быть, немного позже), один из друзей жаловался, что за короткое время ему из ВИНИТИ прислали на реферирование 25 работ некоего Фишера, посвящённых неподвижным точкам отображений. Уровень ярко иллюстрируется таким примером из этих работ.

Теорема. Пусть $X$ — полное метрическое пространство (метрику обозначим буквой $\rho$), $f\colon X\to X$ и $g\colon X\to X$ — два отображения, и пусть существует такое число $\alpha<1$, что для всех $x,y\in X$ выполняется неравенство

$$\rho(fx,gy)\leqslant\alpha\rho(x,y).$$

Тогда отображения $f$ и $g$ имеют общую неподвижную точку.

Доказательство не пишу. Оно, так сказать, "в одну строчку", и каждому будет приятно догадаться самому.

[provincialka]

Да уж, забавно!
Зато человек умные слова выучил. Про метрическое пространство! Это вам не хухры-мухры!

-- 18.09.2015, 12:45 --

Someone в сообщении #1054518 писал(а):

Доказательство не пишу. Оно, так сказать, "в одну строчку",

А, кстати, сам автор какое приводил? Это, в одну строчку (т.е. взять $y=x$) или заумное какое-нибудь?

[amarsianin]

Да уж. Я надеюсь, они не прошли ревью. Самое возмутительное, что тысячи и тысячи работ-таки проходят и публикуются, создавая непереваримый белый шум и снижая общее качество многих изданий.

[provincialka]

amarsianin
Вообще этот мир не совершенен! Не переживайте.
Правда, назвать ваш исходный пример ерундой я бы все-таки поостереглась... Тут бы надо различить термины: что такое "ерунда"? Тривиальное (а то и неверное) утверждение. Или же не совсем тривиальное, но неприменимое на практике...

[amarsianin]

provincialka в сообщении #1054525 писал(а):

Или же не совсем тривиальное, но неприменимое на практике...

Ну, как я сказал, речь идёт о доказательствах, которые формально верны, но не применимы ни на практике, ни в теории. Мой пример - именно пример ерунды, потому что предполагает заведомо невыполнимое условие (говоря формально, класс таких функций f и U, что допускают аналитическое решение вот таких вложенных сами в себя рекуррентных соотношений, имеет плотность меры нуль в пространстве непрерывных функций). Более того, есть серьёзные основания предполагать, что это может быть сделано только для линейных функция. Но этой теории уже сто лет в обед, и она хорошо проработана и называется LQR. Поэтому ценность новой теоремы нулевая.

Давайте все теоремы доказывать по принципу: предположим некое крайне сильное условие, которое оставит от теоремы мааааленький кусочек, элементарно доказуемый.

[Someone]

provincialka в сообщении #1054522 писал(а):

А, кстати, сам автор какое приводил? Это, в одну строчку (т.е. взять $y=x$) или заумное какое-нибудь?

Саму работу я не видел, так что точно не знаю, но товарищ именно это доказательство рассказывал.

[dsge]

amarsianin в сообщении #1054502 писал(а):

Ценность данного доказательства, очевидно, нулевая, так как оно начинается с заведомо абсурдного предполжения.

Непонятно какое доказательство вы имеете ввиду. Приведенное доказательство принадлежит скорее всего Беллману и то, что на каждом шаге иттерации существует решение в этом нет ничего абсурдного. Все доказывается строго при разумных предположения о функциях, вовлеченных в задачу. В практической реализации алгоритма существуют проблемы, обычно разбивают область определения на решетку и затем ищут перебором максимум. Из-за этого задачи динамического программирования страдают от "проклятья размерности" - термин введеный Беллманом, размерность 4 и более - это уже слишком много. Принцип имеет очень много приложений и был использован американцами при управлении аппаратами во время полета человека на Луну.

[amarsianin]

Вот именно, что Беллман работал с конечным пространством состояний и находил экстремумы методом перебора на каждой итерации. Вы хоть посмотрите классические VI и PI и сравните.

А вот то, что решение

$$ u_{i}\left(x{}_{k}\right):&=&\arg\min_{u}\left\{ U\left(x_{k},u\right)+V_{i}\left[f\left(x_{k},u\right)\right]\right\} $$

по $u$ существует на каждом шаге в closed-form, вот это я бы посмотрел на Вас, как бы Вы это доказали. Я подчеркну, что в доказательстве, которое я упомянул в первом посте, всего лишь предполагается, что аналитические решения на каждом шаге существуют.

[dsge]

amarsianin в сообщении #1054869 писал(а):

Беллман работал с конечным пространством состояний

Я имел ввиду непрерывное пространство состояний, которое дискретизируют; есть теоремы, что при увеличении точек грида будет иметь сходимость к решению исходной задачи в каком-либо смысле.
По поводу требования существования решения в замкнутой форме, то трудно комментировать работу, не видя её. Возможные объяснения:
1. Автор - прикладник;
2. Автор - представитель стран Африки (Океании, Карибского бассейна или Кулинарного техникума);
3. Автор принадлежит пересечению множеств 1. и 2.

[amarsianin]

(Оффтоп)

О-о-о-о. За такое можно и на уголовку влететь, между прочим. Это уже открытый расизм.

[dsge]

(Оффтоп)

К сожалению, редакции журналов завалены работами низкого качества в основном из подобных регионов и, пожалуй, некоторые азиатские страны можно добавить к списку.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

amarsianin в сообщении #1054887 писал(а):

[off]О-о-о-о. За такое можно и на уголовку влететь, между прочим. Это уже открытый расизм.

Речь идет не об этническом происхождении, а о месте работы. Не секрет, что математики китайского происхождения, работающие на западе, имеют очень хороший уровень, гораздо выше, чем те же китайцы работающие в провинциальных китайских вузах. То же верно для индийцев, и в еще большей степени для иранцев. И для греков. [/off]

[hurtsy]

amarsianin в сообщении #1054502 писал(а):

кто с какими опубликованными математическими результатами сталкивался, которые формально верны, но по сути представляют собой ерунду с нулевой ценностью.

provincialka в сообщении #1054525 писал(а):

Вообще этот мир не совершенен! Не переживайте.
Правда, назвать ваш исходный пример ерундой я бы все-таки поостереглась...

Может, лучше формально математические результаты ценить формальными же оценками, которые строго больше нуля. А математические результаты применимые к "несовершенному миру" и имеющие "цену" меньше известного "ломанного гроша" считать нулевой стоимостью. Лучше "поостеречься"! С уважением,

[amarsianin]

Цитата:

Может, лучше формально математические результаты ценить формальными же оценками, которые строго больше нуля. А математические результаты применимые к "несовершенному миру" и имеющие "цену" меньше известного "ломанного гроша" считать нулевой стоимостью. Лучше "поостеречься"!

Давайте так. Рассмотрим всё пространство непрерывных вектор-функций из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^n$. Рассмотрим уравнения вида $f(x)=0$, где $f$ - одна из таких вектор-функций. Какую плотность будут иметь вектор-функции, для которых данное уравнение аналитически разрешимо? Правильно, ноль. Поэтому в таком "доказательстве", что я привёл, что теоретическая, что практическая польза также равна нулю. Собственно, никто с этим и не спорит, все авторы и говорят, что будут решать уравнения приближённо. Но не доказывают, что приближённый метод будет сходиться, потому что это уже весьма нетривиально.