Оценка максимального правдоподобия

[2old]

Выборка $x_1,\dots , x_n$ получена в последовательности независимых испытаний при неизменном распределении вероятностей с постоянной плотностью $p(x)=\frac{1}{a}$ при $x\in [M-\frac{a}{2};M+\frac{a}{2}]$. Методом максимального правдоподобия оценить значения параметров $M$ и $a$.

Функция правдоподобия:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a^n}, & \forall i: x_i \in [M-\frac{a}{2};M+\frac{a}{2}] \\ 0, & \exists i: x_i \notin [M-\frac{a}{2};M+\frac{a}{2}] \end{matrix} $$

Для того чтобы функция правдоподобия имела не нулевое значение:

$$M-\frac{a}{2}\leq x_{\min}\leq x_{\max}\leq M+\frac{a}{2}$$

Отсюда:

$$\left\{\begin{matrix} a\geq 2(M-x_{\min}) & \\ a\geq 2(x_{\max}-M)& \end{matrix}\right $$

Так как $\frac{1}{a^n}$ монотонно убывает, то функция правдоподобия имеет максимум при $a=\min{(2(M-x_{min});2(x_{max}-M))}$

Знак между $2(M-x_{min})$ и $2(x_{max}-M)$ совпадает со знаком между $M$ и $\frac{x_{\max}+x_{\min}}{2}$

Еще имеем условие на $M$:

$$\left\{\begin{matrix} M\leq x_{\min}+\frac{a}{2} & \\ M\geq x_{\max}-\frac{a}{2}& \end{matrix}\right $$

Можно, например, взять $M=\frac{x_{\max}+x_{\min}}{2}$, тогда $a=x_{\max}-x_{\min}$.

Я правильно понимаю, что на $M$ тут свобода? И тогда решение не единственно, $M$ лежит в отрезке, а $a$ как функция от него?

[ShMaxG]

Как-то вы странно решаете экстремальную задачу, все по отдельности находите. Вот ваша функция правдоподобия:

$$\begin{array}{c} L\left( {x;M,a} \right) = \frac{1}{{{a^n}}}I\left( {{x_{\min }} \ge M - \frac{a}{2}} \right)I\left( {{x_{\max }} \le M + \frac{a}{2}} \right) \end{array}$$

ее надо максимизировать на плоскости $(M,a)$; $I$ -- индикаторная функция. Смотрите, когда индикаторы не равны нулю, на плоскости $(M,a)$ это множество над некоторыми прямыми. Нарисуйте картинку и из нее сразу поймете, какие оптимальные значения у $M$ и $a$, все однозначно.

[2old]

ShMaxG
Во всех трех случаях получается кусок плоскости, который ограничен двумя лучам выходящими и из точки $(x_{\max}-x_{\min};\frac{x_{\max}+x_{\min}}{2})$. Ну и эта же точка отвечает $a$ максимизирующему $\frac{1}{a^n}$. Так?

[ShMaxG]

2old
Ответ правильный, а что за три случая?

[2old]

ShMaxG
Ну я как человек без интуиции на всякий случай рассмотрел $\{x_{\min}\geq 0\}; \{x_{\min}\leq 0; x_{\max}\geq 0\}; \{x_{\min}\leq 0; x_{\max}\leq 0\}$, но там одинаково получилось, можно наверное и сразу это понять было

[ShMaxG]

А, ну так прямые пересекаются в точке с ординатой $x_{\max}-x_{\min} > 0$ вне зависимости от знаков иксов, причем точка пересечения просто по построению лежит ниже всей области над графиком. Куда ж деваться, это оптимум

[2old]

ShMaxG
Да, теперь понятно, спасибо!