Счетное подмножество комплексных чисел с экспонентой

[vlad9486]

Существует ли?

Хочется что-бы это было хотя-бы кольцо, причем замкнутое относительно экспоненты и
натурального логарифма (кроме нуля под логарифмом), разумеется значения экспоненты и
логарифма должны совпадать для соответствующих комплексных чисел.

Похоже таких подмножеств нету. Мне кажется, что это легко доказать. Но что-то не получается.

[Anton_Peplov]

Чтой-то не понял.

Во-первых - кольцо по каким операциям? По обычному сложению и умножению? Просто экспонента и логарифм - это как бы унарные операции, а не бинарные. Так что собрать только из них кольцо (группу, полугруппу, группоид...) - идея странная.

Ну, пусть по сложению и умножению. Доказать не получается - попробуем опровергнуть. Берем два числа. Приписываем к ним их сумму и произведение, всего получаем уже, в общем случае, четыре числа (если в исходной паре единицы и нуля не было). Применяем к четырем числам экспоненту, получаем восемь чисел. Применяем к восьми числам логарифм, получаем двенадцать чисел (логарифм от тех, что были получены экспонентой, вернет показатель экспоненты). Повторяем все по второму кругу - сложение, умножение, экспоненту, логарифм. Потом по третьему. И так до посинения бесконечности. Получаем последовательность шагов, на каждом из которых в множество дописывается конечное число новых членов. Мощность результирующего множества будет какая?

Вот.

[bot]

vlad9486 в сообщении #1053712 писал(а):

Счетное подмножество комплексных чисел с экспонентой. Существует ли?

А-э-э, ... а счетное подмножество комплексных чисел с гитарой существует?

[vlad9486]

Цитата:

Во-первых - кольцо по каким операциям?

По обычному сложению и умножению.
Экспонента и логарифм нужны дополнительно к сложению и умножению.

Я думаю, что умножение не нужно, если будет экспонента и логарифм, то умножение можно сделать из них и сложения.

$a \cdot b = \exp ( \ln a + \ln b )$

Не понял опровержения. В результате будет счетное множество чисел, а мне такое и нужно. Вот только нужно замкнутое относительно сложения и экспоненты множество, что-бы эти операции над элементом множества давали опять элементы этого множества. Не уверен, что оно останется счетным если включить туда все возможные результаты операций.

Может об этом можно что-то почитать? Гугл не помог.

[Xaositect]

vlad9486 в сообщении #1053744 писал(а):

Не понял опровержения. В результате будет счетное множество чисел, а мне такое и нужно. Вот только нужно замкнутое относительно сложения и экспоненты множество, что-бы эти операции над элементом множества давали опять элементы этого множества. Не уверен, что оно останется счетным если включить туда все возможные результаты операций.

Останется, там получается счетное объединение счетных (если начинать с $\mathbb{Q}$) множеств.

Еще то же самое можно представить так: рассмотрим все формулы, которые содержат целые числа, сложение, вычитание, умножение, деление, экспоненты и логарифмы. Таких формул, очевидно, счетное число. Формула либо некорректна (содержит деление на 0 или логарифм неположительного числа), либо ей соответствует некоторое действительное число. Множество всех чисел, у которых есть представляющая их формула, будет удовлетворять Вашим условиям и будет счетным.

vlad9486 в сообщении #1053744 писал(а):

Может об этом можно что-то почитать? Гугл не помог.

Timothy Y. Chow. What is a Closed-Form Number?

[vlad9486]

Спасибо, это то что нужно.

[Anton_Peplov]

vlad9486 в сообщении #1053744 писал(а):

Не уверен, что оно останется счетным если включить туда все возможные результаты операций.

Мое построение видели? Согласны, что множество получается счетное?
Теперь докажите, что в этом множестве $A$ для любых $a, b \in A$ верно $a + b, ab, e^a, e^b, \ln a, \ln b \in A$. По построению множества. Доказательство в одну строчку.

[bot]

Прочитал только заголовок, а в текст вообще не въезжал.
По сути спрашивается, спрашивается существует ли счётное множество, замкнутое относительно сложения, вычитания, взятия экспоненты и логарифма.
То есть в частичной алгебраической системе на множестве комплексных чисел с указанными операциями существует ли счётная подсистема.
Ответ положительный для любой алгебраической системы с не более чем счётным множеством операций. Надо взять любое конечное подмножество (например, одноэлементное) и породить им подсистему.
Другими словами это то, что уже написал Xaositect.

[vlad9486]

Anton_Peplov в сообщении #1053798 писал(а):

Мое построение видели?

Я не сразу въехал, теперь вижу.