2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Итерации симплекс-метода
Сообщение15.09.2015, 15:12 


26/04/14
68
Минск
Здравствуйте. Я пытаюсь решить задачу с помощью итераций симплекс метода. Ввел дополнительные переменные, чтобы привести к каноническому виду. Нашел на них ограничения. Нашел базисный план, что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные - базисные. Начальный базисный план не вырожденный. Но после второй итерации он стал вырожденным. Что делать в этом случае? Нам говорили, что можно не искать нижние ограничения на дополнительные переменные, а взять их равными 0. Но, если в моём случае эти ограничения взять нулевыми, то начальный план не подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение15.09.2015, 17:31 
Заслуженный участник


16/02/13
3526
Владивосток
Вы б не постеснялись, да и выложили условие и ваше решение. Вот прям сюда. Ей-богу, проще было б сообразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение15.09.2015, 17:59 


26/04/14
68
Минск
iifat, сейчас напишу.

-- 15.09.2015, 17:07 --

Задача на нахождение максимума.
$\phi=12x_1+2x_2+5x_4+3x_5$
$\left\{\begin{matrix}4x_1+2x_2+2x_5\leqslant 1
\\ x_3+3x_5 \leqslant 3
\\ 2x_2+x_4 \leqslant 3
\\ -1 \leqslant x_1 \leqslant 4
\\ 0 \leqslant x_2 \leqslant 4
\\ -4 \leqslant x_3 \leqslant 1
\\ 1 \leqslant x_4 \leqslant 5
\\ 1 \leqslant x_5 \leqslant 6

\end{matrix}\right.$

Привожу к каноническому виду и нахожу ограничения на дополнительные переменные:
$\left\{\begin{matrix}4x_1+2x_2+2x_5 + x_6= 1
\\ x_3+3x_5 +x_7 = 3
\\ 2x_2+x_4 +x_8 = 3
\\ -26 \leqslant x_6 \leqslant 8
\\ -16 \leqslant x_7 \leqslant 4
\\ -10 \leqslant x_8 \leqslant 2

\end{matrix}\right.$

Выбираю исходные переменные на границе так, чтобы дополнительные переменные не попали на границу:
$\left\{\begin{matrix}x_1=-1
\\ x_2=0
\\ x_3=-4
\\ x_4=5
\\ x_5=6

\end{matrix}\right.$

Тогда, подставляю эти значения в уравнения и нахожу первоначальный базисный план:
$x=(-1, 0, -4, 5, 6, -2, -11, -2)'$.

Базисная матрица является единичной. $ c_b=(0, 0, 0)' $.
$A'_bu=c_b, Eu=c_b, u=(0, 0, 0)'$

$\Delta_j=c_j-u'a_j, j \in J_{n}$

$\Delta_1=12, \Delta_2=2, \Delta_3=0, \Delta_4=5, \Delta_5=3$

$\Delta_1=12>0, x_1=-1=d_{*1}$ - первая переменная, на которой нарушается критерий оптимальности невырожденного базисного плана. Значит,
$j_0=1$

$l_1=sign \Delta_1=1, l_2=l_3=l_4=l_5=0$

$A_bl_b=-a_{j_0}l_{j_0}: l_6=-4, l_7=0, l_8=0$

$\Theta_{j_0}=d^*_{j_0}-d_{*j_0}=4-(-1)=5$

$\Theta_j=\left\{\begin{matrix}\frac{d^*_j-x_j}{l_j}, l_j>0
\\ \frac{d_{*j}-x_j}{l_j}, l_j<0
\\ \infty, l_j=0

\end{matrix}\right., j \in J_b$

$\Theta_6=\frac{13}{2}, \Theta_7=\infty, \Theta_8=\infty$

$\Theta=min(\Theta_{j_0}, \Theta_j)=5, j_*=1$

Пересчитываем базисный план:

$\overline{x}=x+\Theta l=(-1, 0, -4, 5, 6, -2, -11, -2)'+5(1, 0, 0, 0, 0, -4, 0, 0)'=(4, 0, -4, 5, 6, -22, -11, -2)'$

Новый базис находится так: $J_b=(J_b\cup \{j_0\})\setminus\{j_*\}$

В этом случае базис не изменился.

На второй итерации критерий нарушился на $j_0=2$. При этом $\Theta_2=\Theta_8=4$. Если в качестве $j_*$ взять 2, то базис не изменится, а $x=(4, 4, -4, 5, 6, -22, -11, 10)'.$ Это вырожденный базис.

Сейчас попробую из базиса исключить 8 и добавить 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение15.09.2015, 19:05 


26/04/14
68
Минск
А, будет же тоже самое, если в базис включить вторую переменную. Вот до чего пришел и не знаю, что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение15.09.2015, 21:43 


26/04/14
68
Минск
Для этого плана выполняются достаточные условия оптимальности, но это решение не удовлетворяет первоначальной системе неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение16.09.2015, 03:50 
Заслуженный участник


16/02/13
3526
Владивосток
iifat в сообщении #1053602 писал(а):
проще было б сообразить
Ну, я не имел в виду себя, вообще-то :wink:
У симплекс-метода, насколько помню, куча модификаций, связанных одной идеей. Те варианты, что читал я, не предусматривают ограничений типа $-1\leqslant x_1\leqslant4$. Не говорю, что это ошибка, но я б начал с ввода новой переменной $\tilde x_1=x_1+1$ и нового ограничения $\tilde x_1 + x_9=4$. По крайней мере, вот эта проблема решится
HenryDukart в сообщении #1053685 писал(а):
решение не удовлетворяет первоначальной системе неравенств

 Профиль  
                  
 
 Re: Итерации симплекс-метода
Сообщение16.09.2015, 15:12 
Заслуженный участник


16/02/13
3526
Владивосток
iifat в сообщении #1053719 писал(а):
$\tilde x_1 + x_9=4$
Соврал. =5, разумеется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group