Объекты с базисами одинаковой мощности изоморфны

[kp9r4d]

Задача: доказать, что два объекта конкретной категории с базисами одинаковой мощности изоморфны.
Я выпишу некоторые определения.
Определение Пусть $(\mathbf{K}, \square)$ - конкретная категория, $X$ - объект в $\mathbf{K}$. Подмножество $S \subset \square X$ называется базисом этого объекта, если для любых $Y \in \mathbf{K}$ и отображения ($=$ морфизма в $\mathbf{Set}$) $\varphi : S \to \square Y$ существует единственный морфизм $f(\varphi) : X \to Y$ в $\mathbf{K}$ такой, что диаграмма
$\xymatrix{\square X\ar[rr]^{\square f(\varphi)}&&{\square Y}\\&S\ar[lu]_j\ar[ru]^{\varphi}}$
($j$ - естественное вложение)
коммутативна.
Попытки очевидно, что если это действительно так, то требуемый изоморфизм - это $f(j_1 \varphi)$ с обратным $f(j_2 \varphi^{-1})$ ($j_1 : S_1 \to X_1$, $j_2 : S_2 \to X_2$ естественные вложения $\varphi : S_1 \to S_2$ биекция), более того, очевидно, что "конкретные версии" этих морфизмов инъективны, а значит - это мономорфизмы и $\square X_1, \square X_2$ равномощны. В принципе на этом всё, что можно дальше увидеть?
Хелемский "Лекции по функциональному анализу" глава 0, параграф 7, упражнение 3, с 72.