2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 13:16 
Тело ограничено поверхностями: $z=6-x^2-y^2$, $z^2=x^2+y^2$, $z>0$.
я представляю это фигуру как мороженое "Рожок")
Не могу разобраться с границами интегрирования в цилиндрических координатах.
У меня получается $0 \leqslant  \varphi   \leqslant 2 \pi$, $0 \leqslant  z  \leqslant 6- \rho ^2$. Так?
а вот с $\rho$ вообще не знаю как быть..

-- 14.09.2015, 14:43 --


 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 13:47 
Аватара пользователя
А вы подумайте, почему этот "рожок" ограничен "по горизонтали"? Где его самое широкое место?
ExtreMaLLlka в сообщении #1053286 писал(а):
$0 \leqslant  z  \leqslant 6- \rho ^2$
А вот при каких $\rho$ двойное неравенство имеет решение?

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 15:03 
provincialka в сообщении #1053291 писал(а):
А вот при каких $\rho$ двойное неравенство имеет решение?

от 0 до $\sqrt{6}$? ну и самое широкое место получается $x^2+y^2=6$

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 15:18 
Не проще будет внешним интегралом сделать Z? Тогда надо будет всего лишь посчитать площадь кругов, на которые "разрезается" фигура.

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 16:20 
или я не права... самое широкое место $z=6-\rho^2,  z^2=\rho^2, z = \rho, 6-\rho^2 = \rho, \rho = 2$
запуталась(

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 16:57 
Аватара пользователя
Это я не права. Точнее, я "поверила" вашему неравенству $0\leqslant z \leqslant6-\rho^2$. Нижняя граница у него неверная. Не учтен конус

-- 14.09.2015, 16:59 --

rivx в сообщении #1053306 писал(а):
Тогда надо будет всего лишь посчитать площадь кругов, на которые "разрезается" фигура.

В смысле? А как от площади перейти к интегралу? Кстати, интегрируемая функция нам не указана...

Этот путь приведет к разбиению интеграла на два.

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 17:57 
Значит получается, $0\leqslant\rho\leqslant2$, $\rho \leqslant z \leqslant 6-\rho^2$ ?

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:05 
Аватара пользователя
Верно.

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:11 
Аватара пользователя
У меня возникло альтернативное понимание (даже два), использующее в качестве одной из границ плоскость $z=0$. Не знаю, кому верить.

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:19 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #1053340 писал(а):
У меня возникло альтернативное понимание (даже два), использующее в качестве одной из границ плоскость $z=0$. Не знаю, кому верить.

Верьте своим глазам! Где вы в условии видели плоскость $z=0$ как часть границы тела? :shock:

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:29 
Аватара пользователя
ExtreMaLLlka в сообщении #1053286 писал(а):
Тело ограничено поверхностями: $z=6-x^2-y^2$, $z^2=x^2+y^2$, $\colorbox{red}{z>0}$.

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:37 
Аватара пользователя
$z > 0 $ это точно не плоскость. А полупространство!

 
 
 
 Re: Объем тела.Тройной интеграл
Сообщение14.09.2015, 18:40 
Аватара пользователя
Ну ОК.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group