О выводе формулы для поля диполя

[kis]

В во всех учебниках, которые я смотрел, поле диполя $\varphi = \frac{1}{4\pi \eps_0 }\vec p \vec r/r^3$ выводится из геометрических соображений. Я вроде где-то видел алгебраический вывод, но так и не нашел его. Сам вывести не смог:

$\varphi = \varphi_+ + \varphi_-= kq (1/r_+ - 1/r_-) = kq \frac{r_- - r_+}{r_-r_+}$

$ \vec r = \vec r_+; \ \vec r_- = \vec r_+ + \vec l = \vec r + \vec l$
$|\vec r_-| = \sqrt{(\vec r + \vec l)^2}=\sqrt{r^2 + 2\vec r \vec l + l^2} \approx r(1+\vec r \vec l/r^2)\ \ \ (l/r \to 0)$

$\varphi = kq \frac{r_- - r}{r_-r} = kq \frac{\vec r \vec l/r^2}{r^2(1+\vec r \vec l / r^2)} = kq \frac {\cos \alpha l/r}{r^2(1+\cos\alpha l/r)}=?$

Обозначения не комментировал, стандартные

[amon]

kis в сообщении #1053030 писал(а):

Я вроде где-то видел алгебраический вывод, но так и не нашел его.

Не знаю Вашего cultural background'a, но если там есть хотя бы один курс университета (ВУЗа), то попробуйте в формуле $\varphi(\vec{x})=\int d^3y\frac{\rho(\vec{y})}{\left|\vec{x}-\vec{y}\right|}$ пораскладывать $\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{y}\right|}$ в ряд Тейлора по $y$, используя то обстоятельство, что

$$\frac{1}{\left|\vec{x}-\vec{y}\right|}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}y_{i_1}\dots y_{i_n}\partial_{i_1}\dots \partial_{i_n}\frac{1}{r}, $$

где по повторяющимся значкам предполагается суммирование, а $r=\left|\vec{x}\right|$. Это и будет алгебраическим выводом.

[kis]

По моему это мультипольное разложение. Я о нем мельком читал в Берклеевском курсе физики. Это слишком замудренно, мне нужен простой вывод формулы для поля диполя. Мне кажется из того, что я написал в старт-посте можно получить нужную мне формулу.

[Cos(x-pi/2)]

kis
Да, просто Вы допустили опечатку в последней строчке. Должно быть так:

$\varphi = kq \frac{r_- - r}{r_-r} = kq \frac{\vec r \vec l / r}{r^2(1+\vec r \vec l / r^2)} \approx kq \frac{\vec r \vec l / r}{r^2}=k \frac{\vec p \vec r}{r^3}$ ,

где:

$\vec p = q \vec l$ .

[kis]

Спасибо!