Где почитать о квантовании поля в лагранжевой формулировке?

[Ascold]

Интересует базовая информация, достаточная для решения такой задачи:
Для массивного скалярного поля, проквантованного в лагранжевой формулировке

$$[\varphi(x),\varphi(y)]=\frac{1}{i}D(x-y)$$

показать, что

$$[i\frac{\partial\varphi(x)}{\partial x_0},\varphi(y)]|_{y^0 \to x^0}=\delta(\mathbf x-\mathbf y).$$

Я скалярные поля изучал по Пескину и Шредеру и кое-каким другим книжкам, там везде гамильтоново квантование и

$$[\varphi(x),\varphi(y)]=D(x-y)-D(y-x).$$

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1052804 писал(а):

$$[\varphi(x),\varphi(y)]=\frac{1}{i}D(x-y)$$

показать, что

$$[i\frac{\partial\varphi(x)}{\partial x_0},\varphi(y)]|_{y^0 \to x^0}=\delta(\mathbf x-\mathbf y).$$

Чтобы получить второе из первого, распишите фейнмановский пропагатор в правой части первого равенства, возьмите $\frac{\partial}{\partial x_0}$ от обоих частей, а затем перейдите к пределу $y_0 \to x_0$. Для этого лагранжевую формулировку знать не надо.

Почитать о лагранжевой формулировке можно в замечательной книге Schwartz'a "QFT and the SM", параграф 7.1.

[Ascold]

Итак, что у меня пока получилось с пропагатором:

$$[\varphi(x),\varphi(y)]=\frac{1}{i}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}e^{-ip(x-y)}$$

Дифференцирую по $x^0$:

$$[\frac{\partial\varphi(x)}{\partial x^0},\varphi(y)]=\frac{1}{i}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}(-iE_p)e^{-ip(x-y)}=-\frac{1}{2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{-ip(x-y)}$$

Устремляю $y^0 \to \ x^0 :$

$$[\frac{\partial\varphi(x)}{\partial x^0},\varphi(y)]|_{y^0 \to x^0}=-\frac{1}{2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{\mathbf{ip(x-y)}}=-\frac{1}{2}\delta(\mathbf{x-y}).$$

Помогите найти ошибку - найти откуда $\frac{1}{2}$ и куда делась недостающая $i$.

[physicsworks]

То, что вы написали вместо $D(x-y)$ --- это не фейнмановский пропагатор, а $\langle 0 | \varphi(x) \varphi(y) | 0 \rangle$. Фейнмановский пропагатор --- это $\langle 0 | T\{\varphi(x)\varphi(y)\}|0 \rangle$, который есть интеграл с соответствующим обходом полюсов. В Пескине и Шредере, который вы используете, он именуется $D_{F}(x-y)$.

[Ascold]

Цитата:

вы написали вместо $D(x-y)$ --- это не фейнмановский пропагатор, а $\langle 0 | \varphi(x) \varphi(y) | 0 \rangle$.

Это я попытался чуть упростить себе задачу - предположил, что $x_0>y_0$, тогда фейнмановский пропагатор превращается в амплитуду перехода. Если же дифференцировать по $x^0$ сам фейнмановский пропагатор

$$D_F=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2}=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{-ip(x-y)}}{p_0^2-E_p^2},$$

то получается следующее:

$$\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^0}D_F(x-y)=\frac{1}{i}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p(x-y)}}\int\frac{ie^{-ip_0(x^0-y^0)}(-ip_0)}{2\pi(p_0^2-E_p^2)}=\frac{1}{i}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p(x-y)}}\int\frac{e^{-ip_0(x^0-y^0)}(p_0)}{2\pi(p_0^2-E_p^2)}$$

Для вычисления этого интеграла, как мне кажется, надо стандартно выбрать обход контура. Пусть $x_0>y_0,$ тогда обходим снизу, по часовой стрелке, и в контур попадает простой полюс $p_0=+E_p$. Вычисляя вычет, имеем:

$$\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^0}D_F(x-y)=\frac{1}{i}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p(x-y)}}\frac{(-2\pi i)e^{-iE_p(x^0-y^0))}E_p}{2\pi(E_p+E_p)}=-\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\mathbf{p(x-y)}}\frac{e^{-iE_p(x^0-y^0)}}{2}$$

Тогда $\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x^0}D_F(x-y)|_{y^0 \to x^0}=-\frac{1}{2}\delta(\mathbf{x-y}),$ что, как и положено(т.к. фейнмановский пропагатор скалярного поля- это хронометрически упорядоченная амплитуда перехода.), совпадает с моим предыдущим рассчётом. Или же требуется как-то более обобщённо вычислять, не предполагая $x_0>y_0$ или $x_0<y_0$?

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1053550 писал(а):

Пусть $x_0>y_0,$

А потом пусть $x_0<y_0$. Смысл в том, что в фейнмановском пропагаторе сидят и запаздывающий, и опережающий пропагаторы.

[Ascold]

Цитата:

А потом пусть $x_0<y_0$.

и получим $\frac{1}{2}\delta(\mathbf{x-y}),$ а не $\frac{1}{i}\delta(\mathbf{x-y}),$ что требуется доказать по условию задачи. Не понимаю, как прийти к ответу...

[Ascold]

Со сторонней помощью я решил-таки этот вопрос, там всё просто оказалось. Буквой D обозначен не пропагатор, и не амплитуда перехода, а просто умноженный на i коммутатор. Т.е.

$$\frac{1}{i}D(x-y)=[\varphi(x)\varphi(y)]=\frac{1}{2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E_p}(e^{-ip(x-y)}-e^{ip(x-y)}).$$

Если продифференцировать его по $x^0$ и устремить $x^0 \to y^0,$ то получим верный ответ.