Приблизительное вычисление суммы ряда.

[kvendingoldo]

Здравствуйте! Есть задачка ( вводная ) на численные методы. Дан ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos(xn)}{n^\frac{3}{2}}$, который нужно приближенно вычислить. С программированием проблем нет, так что приближенное вычисление с точностью $\varepsilon$ написал сразу, но есть еще и вторая часть задачи : построить график $f_0(x,\varepsilon) : N_0=\min(n) : |f_{n+1}|<\varepsilon$. На паре препод показывал на очень простом примере, что суммы как-то можно приблизить интегралами и найти этот самый $N_0$. Cам уже перерыл много информации, но так и не нашел метод , как найти этот самый $N_0$. Читал у Кнута про приближенную замену рядов интегралами, но не помогло. Так же думал применить тут теорему Коши-Адамара и найти радиус сходимости, но это скорее всего не поможет. Как быть в такой ситуации? Что почитать для того, чтобы лучше разобраться в вопросе?

[iancaple]

kvendingoldo в сообщении #1052686 писал(а):

... показывал на очень простом примере, что суммы как-то можно приблизить интегралами и найти этот самый $N_0$.

Если на очень простом, значит на таком
$0<\sum_{N+1}^{\infty}\frac 1{n^{3/2}}\leq \int_{N}^{\infty}\frac {dx}{x^{3/2}}=...$.(Смотрим на график, функция монотонно убывает, сравниваем площадь под ней с площадями прямоугольников) Остается взять интеграл и найти при каких $N$ он меньше $\varepsilon$

[kvendingoldo]

iancaple в сообщении #1052694 писал(а):

kvendingoldo в сообщении #1052686 писал(а):

... показывал на очень простом примере, что суммы как-то можно приблизить интегралами и найти этот самый $N_0$.

Если на очень простом, значит на таком
$0<\sum_{N+1}^{\infty}\frac 1{n^{3/2}}\leq \int_{N}^{\infty}\frac {dx}{x^{3/2}}=...$.(Смотрим на график, функция монотонно убывает, сравниваем площадь под ней с площадями прямоугольников) Остается взять интеграл и найти при каких $N$ он меньше $\varepsilon$

Да примерно так и показывали. Метод полностью ясен(из чего это следует). А есть ли еще какие-нибудь?

[iancaple]

Есть .Например, если бы не было косинуса, ряд был бы знакочередующимся, и $|f_{n+1}(x)|\leq |a_n(x)|$- остаток по модулю не больше последнего учтенного члена ряда.
Не знаю, насколько ясно, что данный ряд знакопеременный, но не знакочередующийся. Если нет, подставить $x=\frac{\pi}3$ и посмотреть изменение знаков 6 подряд идущих членов.

[kvendingoldo]

iancaple в сообщении #1053017 писал(а):

Есть .Например, если бы не было косинуса, ряд был бы знакочередующимся, и $|f_{n+1}(x)|\leq |a_n(x)|$- остаток по модулю не больше последнего учтенного члена ряда.
Не знаю, насколько ясно, что данный ряд знакопеременный, но не знакочередующийся. Если нет, подставить $x=\frac{\pi}3$ и посмотреть изменение знаков 6 подряд идущих членов.

Ну то, что он знакопеременный - это было сразу понятно, как увидел косинус :) Но так и не понял, что это даёт?

И вопрос по поводу вычисления $N_0$. Вычислял так:
$\sum\limits_{n=N_0 + 1}^{+\infty}\frac 1{n^{3/2}}\leq\int\limits_{N_0+1}^{+\infty}\frac {dx}{x^{3/2}}=\frac{2}{\sqrt{N_0+1}}$. Теперь программируя это , получаю, что для не очень уж и маленького $\varepsilon$ я получаю какие-то огроменные $N_0$. Уже для $\varepsilon=1e-4$ получаю $ N_0\approx400000000$. Для компьютера это как-то многовато, учитывая, что эпсилон будет равен где-то $1e-16$ . Что я сделал не так?

[ewert]

kvendingoldo в сообщении #1053038 писал(а):

. Что я сделал не так?

Всё так. Независимо от иксов лучше и не оценить. А вот в зависимости от -- можно и по признаку Дирихле (он даёт качественно тот же порядок остатка, что и признак Лейбница).

Только для начала всё-таки желательно бы выяснить, что может означать это загадочное буквосочетание:

kvendingoldo в сообщении #1052686 писал(а):

построить график $f_0(x,\varepsilon) : N_0=\min(n) : |f_{n+1}|<\varepsilon$

[iancaple]

Косинус не дает ничего, а мешает много. Пусть бы лучше ряд был положительный, добавились бы некоторые методы.

kvendingoldo в сообщении #1053038 писал(а):

эпсилон будет равен где-то $1e-16$ .

Все так и есть, ряд (без косинусов) достаточно медленно сходящийся, а косинусы непредсказуемы, если речь об универсальной программе, годной для каждого $x$. Поэтому в учебных задачах ограничиваются точностью $10^{-5}$. А то еще встанет вопрос о разрядности машины и как накопится ошибка при стольких сложениях.

[ewert]

iancaple в сообщении #1053050 писал(а):

Косинус не дает ничего, а мешает много.

Ничему он не мешает -- частичные его суммы ведь ограничены известно чем.

iancaple в сообщении #1053050 писал(а):

лучше ряд был положительный, добавились бы некоторые методы.

А что могло бы добавиться, если упоминавшиеся оценки -- точные как минимум по порядку?

Если же говорить об ускорении сходимости (скажем, суммированием по частям), то это и так можно.

[kvendingoldo]

ewert в сообщении #1053049 писал(а):

Только для начала всё-таки желательно бы выяснить, что может означать это загадочное буквосочетание:

kvendingoldo в сообщении #1052686 писал(а):

построить график $f_0(x,\varepsilon) : N_0=\min(n) : |f_{n+1}|<\varepsilon$

Тьфу, не так написал задание.
Полное задание звучало так:
Пусть функция$ f(x) $ задана на отрезке$ [a,b]$ как сумма бесконечного ряда$ f(x)= \sum\limits_{n=n_0}^{\infty} f_n(x) $
Определим функцию$ f_0(x,\varepsilon)=\sum\limits_{n=n_0}^{N_0} f_n(x) $ и $ f_c(x,\varepsilon)=\sum\limits_{n=n_0}^{N_c} f_n(x) $
где $N_0$ наименьшее $n$ такое, что $|f_{n+1}|<\varepsilon$, а $N_c$ - наименьшее такое, что $ \sum\limits_{n=N_c+1}^{\infty} |f_n(x)| < \varepsilon $ для всех $x \in [a,b].$
Задание : Реализовать подсчет и построить графики функций $f_0(x,\varepsilon)$ и $f_c(x,\varepsilon).$

[ewert]

kvendingoldo в сообщении #1053055 писал(а):

где $N_0$ наименьшее $n$ такое, что $|f_{n+1}|<\varepsilon$, а $N_c$ - наименьшее такое, что $ \sum\limits_{n=N_c+1}^{\infty} |f_n(x)| < \varepsilon $ для всех $x \in [a,b].$

А здесь ничего и не сказано про подсчёт суммы ряда с требуемой точностью. Здесь требуется запрограммировать нахождение $N_0$ и $N_c$.

$N_0$ можно получить просто перебором: надо найти сначала грубую оценку сверху, а потом определить фактический минимум перебором предыдущих членов. Правда, для $N_c$ этот фокус так просто уже не пройдёт, но и постановка задачи выглядит несколько нелепой.

В чём польза для сельского хозяйства от построения графиков -- не понимаю совершенно.