Топология, если все элементы базы замкнуты

[Anton_Peplov]

Напомню, что базой топологии называется такая система открытых множеств $\Sigma$, что всякое открытое множество есть объединение каких-то элементов $\Sigma$.

Вопрос: если все элементы базы замкнуты, следует ли из этого, что и каждое открытое множество замкнуто? Интуитивно это не выглядит верным, ибо объединение бесконечного числа замкнутых множеств не обязательно замкнуто. Но и контрпример построить мне не удалось. Сложность в том, что в контрпримере база обязательно должна содержать бесконечное число попарно не пересекающихся множеств, иначе всякое открытое множество можно представить как объединение конечного числа элементов базы, и, значит, утверждение верно автоматически (объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто).

Я пробовал взять на числовой прямой все интервалы вида $(a, b)$ и объявить их одновременно открытыми и замкнутыми, но легко показать, что так получается просто дискретная топология. А для канторова пространства всех бесконечных двоичных последовательностей с базой $\{\Omega_x\}$ для всевозможных $x$, где $\Omega_x$ - множество всех последовательностей, начинающихся со слова $x$, в базе не найдется бесконечного числа попарно не пересекающихся множеств.

Признаться, я в тупике. Или все-таки контрпримера не существует и утверждение верно?

[Slav-27]

$\mathbb{Q}$...

[Anton_Peplov]

А есть ли в $\mathbb{Q}$ с топологией, индуцированной канонической топологией $\mathbb{R}$, база, все элементы которой замкнуты? Она есть, если система всех интервалов $(a, b)$, где $a, b$ иррациональны, образует базу $\mathbb{R}$. Но я не вижу, как из таких интервалов можно собрать в $\mathbb{R}$, скажем, $(1, 2)$.

[Slav-27]

Взять последовательность иррациональных чисел, сходящуюся к $1$ справа, и другую, сходящуюся к $2$ слева.

[Anton_Peplov]

Да, верно. Подобным же фокусом, только с рациональными числами, доказывается сепарабельность $\mathbb{R}$. Черт, ненавижу эти бесконечные объединения, вечно путаюсь в том, что получится в результате.
Спасибо.

P.S. Да, тот факт, что отрезки с иррациональными концами образуют базу $\mathbb{R}$, доказывается в полтычка. Достаточно заметить, что:
1. Объединение всех таких отрезков дает все $\mathbb{R}$
2. Для любых двух таких пересекающихся отрезков найдется отрезок с иррациональными концами, включенный в их пересечение.
А это необходимые и достаточные условия для базы топологии. Как просты все задачи, когда знаешь ответ.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1052325 писал(а):

отрезки с иррациональными концами образуют базу $\mathbb{R}$

Отрезки не образуют, потому что они в $\mathbb R$ не являются открытыми. Должны быть интервалы.

Anton_Peplov в сообщении #1052325 писал(а):

Для любых двух таких пересекающихся отрезков найдется отрезок с иррациональными концами, включенный в их пересечение.

По-моему, этого недостаточно. От базы требуется больше: чтобы для каждой точки, принадлежащей пересечению двух элементов базы, …

[Anton_Peplov]

Someone
Да и да. Имел в виду, конечно, интервалы, хотя сказал "отрезки". Бывает лениво следить за терминологией, когда задача уже решена. И да - для каждой точки... Но здесь именно для каждой точки это и выполняется.

[GDTD]

Anton_Peplov в сообщении #1052274 писал(а):

Вопрос: если все элементы базы замкнуты, следует ли из этого, что и каждое открытое множество замкнуто?

Нет. Пример: прямая Зоргенфрея. Базу образуют полуинтервалы вида $[a,b)$. Дополнение $(-\infty,a)\cup[b,+\infty)$ множества $[a,b)$, очевидно, открыто, поэтому $[a,b)$ замкнуто. В то же время открытое множество $(a,b)$ не является замкнутым.

[Anton_Peplov]

Мы уже нашли один контрпример, спасибо за еще один:)