Замечание из книжки Рудина

[Ward]

Здравствуйте!

Читаю книжку Рудина и там есть такое замечание:
"Мы определили понятие непрерывности для функций, заданных на подмножестве $E$ метрического пространства $X$. Однако дополнение множества $E$ в $X$ не играет никакой роли в этом определении, в отличие от определения пределов функций. Тем самым мы можем говорить о непрерывных отображениях одного метрического пространства в другое (а не об отображениях подмножеств)."

Может ли кто-нибудь мне объяснить почему дополнение множества $E$ не играет никакой роли, в отличие от предела функций.

Был бы признателен за помощь.

[Slav-27]

Предел можно искать в любой предельной точке множества $E$, даже если она не принадлежит $E$. Теоремы о пределах формулируются с учётом этой возможности.

В определении непрерывности про точки из $X\setminus E$ не говорится вообще ничего (говорить о непрерывности функции в некоторой точке можно лишь в том случае, если она там определена). Поэтому можно забыть про $X\setminus E$ и думать про $E$ как про отдельное метрическое пространство.

[Ward]

Slav-27
Спасибо Вам большое!