Континуальность связного множества

[Mikhail_K]

Возможно, тривиальный вопрос, но сразу не могу сообразить.
Верно ли, что любое связное множество в пространстве $\mathbb{R}^n$, кроме одноточечных, имеет мощность континуума?

[Sender]

Хм, ну если у нас в связном множестве есть хотя бы две точки, их можно соединить некоторой непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству.

[Mikhail_K]

Да нет, нельзя. Даже в $\mathbb{R}^n$ связность отличается от линейной связности.

[Xaositect]

На подпространстве $\mathbb{R}^n$ есть индуцированная метрика, а метрическое связное пространство континуально - отображение $x\mapsto d(x_0, x)$ непрерывно, его образ должен быть связным, а значит на каждое действительное число из некоторого интервала есть хотя бы одна точка в прообразе.

[Mikhail_K]

Спасибо.