2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Верно ли, что для каждой непрерывной функции $n$ переменных $f(x_1,\  x_2,... x_n)$ найдутся $n$ непрерывных функций одной переменной $f_1(x),\ f_2(x)...f_n(x)$ такие, что во всей области определения $f$ верно
$$f(x_1,\  x_2,... x_n) = \sum_{k=1}^n f_k(x_k)$$
?
Краем уха слышал, что Арнольд доказал то ли это, то ли что-то похожее, но хотелось бы уточнить.
P.S. Прошу уважаемых модераторов не отфутболивать меня по статье "не приведены попытки решения", т.к. это задача явно не учебного уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12016
Казань
Видимо, края моих ушей расположены где-то совсем в другом месте... Странное какое-то утверждение... Пример приведёте?
Например, как представить функцию $f(x, y)=xy$ в виде суммы $g(x)+h(y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Нет, пример привести не могу. Утверждение действительно очень не очевидное, но при этом простое и красивое, чем меня и заинтересовало.
Возможно, речь шла о каком-то совсем другом утверждении, но случился "испорченный телефон".

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12016
Казань
По-моему все-таки о другом утверждении. Вот смотрите, если $xy=g(x)+h(y)$, то при $x=0$ получаем $0 = g(0) +h(y)$, откуда $h(y) = -g(0)=\operatorname{const}$. Аналогично и $g(x)$ -- постоянная функция. И их сумма.

И вообще для функции, разлагающейся в сумму, верно, что $f(x,y_1)-f(x,y_2)$ не зависит от $x$. А это же не для всякой функции верно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Да, спасибо. Красивое утверждение не состоялось.
Постараюсь найти эту книгу и еще раз посмотреть, что буквально там было сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13379
с Территории
Это тринадцатая проблема Гильберта: грубо говоря, есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух. Нет таких функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Ах, через композицию... Ну - композиция - штука куда более мощная.

-- 06.09.2015, 02:35 --

В статье Арнольда "О функциях трех переменных" (1957 г.) нашел точную формулировку:

Любая заданная на единичном кубе $E^3$ действительная непрерывная функция $f(x_1,x_2,x_3)$ трех переменных может быть представлена в виде
$$
f(x_1,x_2,x_3) = \sum_1^3\sum_1^3h_{ij}[\varphi_{ij}(x_1,x_2),x_3]
$$
где функции двух переменных $h_{ij}$ и $\varphi_{ij}$ действительны и непрерывны.

Это надо осмыслить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 13:27 


14/01/11
2671
ИСН в сообщении #1050816 писал(а):
есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух

Смутно припоминаю, что для такого представления достаточно единственной функции двух переменных, а именно функции их сложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 13:42 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
При наличии времени очень рекомендую посмотреть лекцию Стаса Шапошникова от 13-го марта. Он как раз доступно для первокурсников всё это рассказывал. Также можете попробовать порешать четвёртый листок по Анализу-2 (где доказательство теоремы Колмогорова разбито на серию задач).
http://ium.mccme.ru/IUM-video.html#Spring-2015:

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Sender
Оригинальную формулировку Колмогорова я привел выше. Там о характере этих функций двух переменных ничего не говорится, кроме непрерывности. Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя. Я вот уже стукнулся лбом о смутные припоминания.

Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 18:32 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):
Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

Ой, напутал... Всячески прошу прощения -- нужная Вам лекция от 20-го марта. (это листок был выдан 13-го за неделю до, а видеозапись лекции 20-го числа)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 12:09 


14/01/11
2671
Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):
Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя.

Собственно, этим кем-то сам же Колмогоров и был. Вот можете взглянуть на статью Арнольда, начиная со стр. 55. Там утверждается и затем доказывается следующее:
Цитата:
каждая непрерывная функция $n$ переменных, заданная на единичном кубе $n$-мерного пространства $E_n$, представима в виде
$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{q=1}^{2n+1}h_q[ \sum\limits_{p=1}^{n}\varphi_q^p(x_p) ], \eqno(6)$$
где функции $h_q(u)$ – непрерывны, а функции $\varphi_p^q(x_p)$, кроме того, ещё стандартны, т.е. не зависят от выбора функции $f$

(Оффтоп)

Хм, похоже, обнаружил опечатку у Арнольда, обратите внимание на чехарду с индексами. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Ага, спасибо. Я смотрел более раннюю статью.

Кстати - могу понять, почему куб, но почему он единичный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 16:26 
Аватара пользователя


11/08/11
1122
Тык если нас интересует неединичный куб, то берем единичный и масштабируем, как нам надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
6884
Тогда зачем вообще слово "единичный" в формулировке теоремы? "Заданная на Кубе на кубе" - да и все.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group