2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:35 
Аватара пользователя
Верно ли, что для каждой непрерывной функции $n$ переменных $f(x_1,\  x_2,... x_n)$ найдутся $n$ непрерывных функций одной переменной $f_1(x),\ f_2(x)...f_n(x)$ такие, что во всей области определения $f$ верно
$$f(x_1,\  x_2,... x_n) = \sum_{k=1}^n f_k(x_k)$$
?
Краем уха слышал, что Арнольд доказал то ли это, то ли что-то похожее, но хотелось бы уточнить.
P.S. Прошу уважаемых модераторов не отфутболивать меня по статье "не приведены попытки решения", т.к. это задача явно не учебного уровня.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:40 
Аватара пользователя
Видимо, края моих ушей расположены где-то совсем в другом месте... Странное какое-то утверждение... Пример приведёте?
Например, как представить функцию $f(x, y)=xy$ в виде суммы $g(x)+h(y)$?

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:44 
Аватара пользователя
Нет, пример привести не могу. Утверждение действительно очень не очевидное, но при этом простое и красивое, чем меня и заинтересовало.
Возможно, речь шла о каком-то совсем другом утверждении, но случился "испорченный телефон".

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 01:54 
Аватара пользователя
По-моему все-таки о другом утверждении. Вот смотрите, если $xy=g(x)+h(y)$, то при $x=0$ получаем $0 = g(0) +h(y)$, откуда $h(y) = -g(0)=\operatorname{const}$. Аналогично и $g(x)$ -- постоянная функция. И их сумма.

И вообще для функции, разлагающейся в сумму, верно, что $f(x,y_1)-f(x,y_2)$ не зависит от $x$. А это же не для всякой функции верно!

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:09 
Аватара пользователя
Да, спасибо. Красивое утверждение не состоялось.
Постараюсь найти эту книгу и еще раз посмотреть, что буквально там было сказано.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:13 
Аватара пользователя
Это тринадцатая проблема Гильберта: грубо говоря, есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух. Нет таких функций.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 02:21 
Аватара пользователя
Ах, через композицию... Ну - композиция - штука куда более мощная.

-- 06.09.2015, 02:35 --

В статье Арнольда "О функциях трех переменных" (1957 г.) нашел точную формулировку:

Любая заданная на единичном кубе $E^3$ действительная непрерывная функция $f(x_1,x_2,x_3)$ трех переменных может быть представлена в виде
$$
f(x_1,x_2,x_3) = \sum_1^3\sum_1^3h_{ij}[\varphi_{ij}(x_1,x_2),x_3]
$$
где функции двух переменных $h_{ij}$ и $\varphi_{ij}$ действительны и непрерывны.

Это надо осмыслить.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 13:27 
ИСН в сообщении #1050816 писал(а):
есть ли функции трёх переменных, которые не выражаются через композицию функций от одной и двух

Смутно припоминаю, что для такого представления достаточно единственной функции двух переменных, а именно функции их сложения.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 13:42 
Аватара пользователя
При наличии времени очень рекомендую посмотреть лекцию Стаса Шапошникова от 13-го марта. Он как раз доступно для первокурсников всё это рассказывал. Также можете попробовать порешать четвёртый листок по Анализу-2 (где доказательство теоремы Колмогорова разбито на серию задач).
http://ium.mccme.ru/IUM-video.html#Spring-2015:

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 17:04 
Аватара пользователя
Sender
Оригинальную формулировку Колмогорова я привел выше. Там о характере этих функций двух переменных ничего не говорится, кроме непрерывности. Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя. Я вот уже стукнулся лбом о смутные припоминания.

Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение06.09.2015, 18:32 
Аватара пользователя
Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):
Hasek
Спасибо. При наличии времени посмотрю. Где бы еще взять это наличие времени...

Ой, напутал... Всячески прошу прощения -- нужная Вам лекция от 20-го марта. (это листок был выдан 13-го за неделю до, а видеозапись лекции 20-го числа)

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 12:09 
Anton_Peplov в сообщении #1050962 писал(а):
Может быть, потом кто-то усилил эту теорему, но без точной формулировки сказать нельзя.

Собственно, этим кем-то сам же Колмогоров и был. Вот можете взглянуть на статью Арнольда, начиная со стр. 55. Там утверждается и затем доказывается следующее:
Цитата:
каждая непрерывная функция $n$ переменных, заданная на единичном кубе $n$-мерного пространства $E_n$, представима в виде
$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{q=1}^{2n+1}h_q[ \sum\limits_{p=1}^{n}\varphi_q^p(x_p) ], \eqno(6)$$
где функции $h_q(u)$ – непрерывны, а функции $\varphi_p^q(x_p)$, кроме того, ещё стандартны, т.е. не зависят от выбора функции $f$

(Оффтоп)

Хм, похоже, обнаружил опечатку у Арнольда, обратите внимание на чехарду с индексами. :-)

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 14:38 
Аватара пользователя
Ага, спасибо. Я смотрел более раннюю статью.

Кстати - могу понять, почему куб, но почему он единичный?

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 16:26 
Аватара пользователя
Тык если нас интересует неединичный куб, то берем единичный и масштабируем, как нам надо.

 
 
 
 Re: Непрерывная функция n переменных как сумма функций
Сообщение07.09.2015, 18:41 
Аватара пользователя
Тогда зачем вообще слово "единичный" в формулировке теоремы? "Заданная на Кубе на кубе" - да и все.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group