2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория поверхностей: жидкостная аналогия.
Сообщение05.09.2015, 19:11 


17/12/13

97
Решил найти в Интернете все поверхности постоянной средней кривизны $H (H>0)$ в трехмерном Евклидовом пространстве. Получил список, в который, помимо сферы, вошли различные цилиндры и торы, ундулоиды и твиззлеры (поверхности Ш.Делоне), триноиды (и вообще, k-ноиды), нодоиды, бублетоны, поверхности Смита, а так же их различные комбинации. Наиболее полно они представлены, например, в
http://www.gang.umass.edu и http://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Geo ... t/gallery/.

Насколько я понял, все они получены аналитическим конструированием, поэтому их список, по-видимому, будет еще пополняться.

Однако, здесь ни разу не встретилось упоминания о поверхностях, которые меня давно интересуют, а именно - свободная поверхность капли жидкости, не обладающей смачиванием, деформированной жесткими стенками в невесомости и без инерционных сил. Известно, что в таких условиях поверхность имеет постоянную среднюю кривизну и вполне имеет право быть в вышеуказанном списке.

Если классифицировать такую поверхность, то она единственная является выпуклой гладкой ограниченной поверхностью с краем (условие выпуклости выполняется, если каплю деформировать плоскими стенками). Вот изображение некоторых из них:
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425945.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425946.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425947.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425948.gif

Математическое исследование таких поверхностей облегчается тем, что они имеют наглядную физическую интерпретацию и подчиняются физическим законам. Например, возьмем каплю, сжатую двумя параллельными стенками, и рассечем ее посередине плоскостью, параллельной сжимающим поверхностям. Составив уравнение равновесия одной из частей, придем к дифференциальному уравнению, решением которого будет образующая поверхности вращения.

Известно, что капля жидкости в свободном состоянии имеет форму шара. Расчеты некоторых частных случаев показывают, что работа, затраченная на деформацию капли, переходит в увеличение ее поверхности (рассматривается только идеальная жидкость). Зная это, мы легко приходим к решению изопериметрической задачи - из всех равновеликих форм шар имеет наименьшую поверхность, ведь любая его деформация требует затраты работы и приводит к увеличению поверхности.

Здесь же наглядно иллюстрируется, что если поверхность постоянной средней кривизны замкнута - это шар, поскольку любое отклонение формы от сферической требует приложения внешних сил, а это лишает свободную поверхность капли замкнутости.

Рассматриваемая жидкостная аналогия позволяет выявить некоторые общие свойства выпуклых ограниченных поверхностей постоянной средней кривизны с краем, ограничивающих определенный объем:
- площадь поверхности находится в обратной зависимости от средней кривизны;
- поверхность должна иметь не менее 2-х краев;
- если контур края - плоская кривая, то его плоскость касательна к поверхностиво всех точках края;
и др.

В заключение напомню, что подобную поверхность рассматривал А.В.Погорелов в своей работе http://www.mathnet.ru/links/0a881288a0b ... zm2242.pdf.

Таким образом, как мне кажется, эти поверхности незаслуженно обойдены вниманием геометров.

Ваше мнение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yules


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group