2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория поверхностей: жидкостная аналогия.
Сообщение05.09.2015, 19:11 


17/12/13

97
Решил найти в Интернете все поверхности постоянной средней кривизны $H (H>0)$ в трехмерном Евклидовом пространстве. Получил список, в который, помимо сферы, вошли различные цилиндры и торы, ундулоиды и твиззлеры (поверхности Ш.Делоне), триноиды (и вообще, k-ноиды), нодоиды, бублетоны, поверхности Смита, а так же их различные комбинации. Наиболее полно они представлены, например, в
http://www.gang.umass.edu и http://www.math.uni-tuebingen.de/ab/Geo ... t/gallery/.

Насколько я понял, все они получены аналитическим конструированием, поэтому их список, по-видимому, будет еще пополняться.

Однако, здесь ни разу не встретилось упоминания о поверхностях, которые меня давно интересуют, а именно - свободная поверхность капли жидкости, не обладающей смачиванием, деформированной жесткими стенками в невесомости и без инерционных сил. Известно, что в таких условиях поверхность имеет постоянную среднюю кривизну и вполне имеет право быть в вышеуказанном списке.

Если классифицировать такую поверхность, то она единственная является выпуклой гладкой ограниченной поверхностью с краем (условие выпуклости выполняется, если каплю деформировать плоскими стенками). Вот изображение некоторых из них:
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425945.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425946.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425947.gif
http://4put.ru/pictures/max/1115/3425948.gif

Математическое исследование таких поверхностей облегчается тем, что они имеют наглядную физическую интерпретацию и подчиняются физическим законам. Например, возьмем каплю, сжатую двумя параллельными стенками, и рассечем ее посередине плоскостью, параллельной сжимающим поверхностям. Составив уравнение равновесия одной из частей, придем к дифференциальному уравнению, решением которого будет образующая поверхности вращения.

Известно, что капля жидкости в свободном состоянии имеет форму шара. Расчеты некоторых частных случаев показывают, что работа, затраченная на деформацию капли, переходит в увеличение ее поверхности (рассматривается только идеальная жидкость). Зная это, мы легко приходим к решению изопериметрической задачи - из всех равновеликих форм шар имеет наименьшую поверхность, ведь любая его деформация требует затраты работы и приводит к увеличению поверхности.

Здесь же наглядно иллюстрируется, что если поверхность постоянной средней кривизны замкнута - это шар, поскольку любое отклонение формы от сферической требует приложения внешних сил, а это лишает свободную поверхность капли замкнутости.

Рассматриваемая жидкостная аналогия позволяет выявить некоторые общие свойства выпуклых ограниченных поверхностей постоянной средней кривизны с краем, ограничивающих определенный объем:
- площадь поверхности находится в обратной зависимости от средней кривизны;
- поверхность должна иметь не менее 2-х краев;
- если контур края - плоская кривая, то его плоскость касательна к поверхностиво всех точках края;
и др.

В заключение напомню, что подобную поверхность рассматривал А.В.Погорелов в своей работе http://www.mathnet.ru/links/0a881288a0b ... zm2242.pdf.

Таким образом, как мне кажется, эти поверхности незаслуженно обойдены вниманием геометров.

Ваше мнение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group