2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 16:42 


14/05/15
29
Есть теорема в которой говорится, что если ряд сходится, то его общий член $u_{ n }$ стремится к нулю, т. е. $\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { u }_{ n }=0 }$.
Я так понимаю нельзя говорить, что если $\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { u }_{ n }=0 }$, то ряд сходится.
Но как доказать, что обратное неверно?
В голову приходит только доказательство с использованием импликации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 16:47 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Достаточно привести контрпример. Про гармонический ряд слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 17:16 


14/05/15
29
NSKuber
Слышал, но допустим у нас не получается найти контраргумент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 17:21 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
beardy в сообщении #1049944 писал(а):
NSKuber
Слышал, но допустим у нас не получается найти контраргумент.
Что это значит - "не получается"?
Возьмите гармонический ряд.
Проверьте.
Контраргумент готов.
Что тут конкретно у вас не получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 17:29 


14/05/15
29
Sonic86
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
beardy в сообщении #1049949 писал(а):
Sonic86
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.

Так вы сказали удивительную ГЛУПОСТЬ! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
beardy в сообщении #1049938 писал(а):
Но как доказать, что обратное неверно?
В голову приходит только доказательство с использованием импликации.
Не получится. Потому что обратное утверждение иногда верно, иногда нет, а Вы хотите универсальное доказательство. Поэтому с каждым случаем надо разбираться отдельно. Схема такая. Дано, что $A\Rightarrow B$. Нужно доказать, что $\neg(B\Rightarrow A)$. Проблема в том, что иногда $\neg(B\Rightarrow A)$, а иногда $B\Rightarrow A$. Но если Вы найдёте такое $C$, что $C\Rightarrow(B\wedge\neg A)$, это и будет означать, что $\neg(B\Rightarrow A)$. Контрпример как раз и помогает получить это самое $C$.

beardy в сообщении #1049944 писал(а):
допустим у нас не получается найти контраргумент.
А это как раз повод хорошенько задуматься: может быть, всё-таки $B\Rightarrow A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
beardy в сообщении #1049949 писал(а):
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.


Высказывания, как известно, делятся на общеутвердительные ("всякое $A$ есть $B$"), частноутвердительные ("существует $A$, которое $B$"), общеотрицательные ("никакое $A$ не есть $B$") и частноотрицательные ("существует $A$, которое не $B$"). Классический способ опровергнуть общеутвердительное высказывание - построить нужное частноотрицательное, оно же контрпример. Вот у нас $A$ - "ряд со стремящимся к нулю общим членом", $B$ - "сходящийся ряд". Гармонический ряд демонстрирует, что существует $A$, которое не $B$, и тем самым опровергает, что всякое $A$ есть $B$

Но если уж очень хочется коснуться левой ногой правого уха, можно попробовать доказать из посылки "всякое $A$ есть $B$" два противоречащих друг другу общеутвердительных высказывания. Например, взяв за посылку, что то всякий ряд, общий член коего стремится к нулю, сходится, доказать что всякая дифференцируемая функция непрерывна и одновременно, что всякая дифференцируемая функция имеет разрыв. Или еще какую-нибудь глупость в том же роде. Обычно этим никто не занимается, т.к. искать контрпримеры проще, чем выводить противоречащие друг другу общеутвердительные высказывания. Я даже не знаю, было ли в реальной истории математики что-нибудь опровергнуто именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 20:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
beardy в сообщении #1049949 писал(а):
Я не говорил, что не получается. Я сказал ДОПУСТИМ, что не получается.
Пример построен выше, следовательно получается. Если допустить, что не получается, то получаем, что получается и не получается. Противоречие. Значит предположение о том, что не получается, ложно, значит получается.

Поставьте вопрос осмысленно.

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1049967 писал(а):
Высказывания, как известно, делятся на общеутвердительные ("всякое $A$ есть $B$"), частноутвердительные ("существует $A$, которое $B$"), общеотрицательные ("никакое $A$ не есть $B$") и частноотрицательные ("существует $A$, которое не $B$"). Классический способ опровергнуть общеутвердительное высказывание - построить нужное частноотрицательное, оно же контрпример. Вот у нас $A$ - "ряд со стремящимся к нулю общим членом", $B$ - "сходящийся ряд". Гармонический ряд демонстрирует, что существует $A$, которое не $B$, и тем самым опровергает, что всякое $A$ есть $B$
А я думал, что аристотелевская логика устарела и можно просто юзать булеву логику :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 20:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Лучше использовать алгебру предикатов. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Верно ли обратное
Сообщение02.09.2015, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1049989 писал(а):
А я думал, что аристотелевская логика устарела и можно просто юзать булеву логику :roll:

Юзать можно все, что удобно юзать. В данном конкретном случае Мне было удобнее выразить свою мысль на аристотелевском языке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group