Квадраты из палочек

[Ktina]

а) В наборе есть 31 палочка длиной 1 см, 2 см, ..., 31 см. Виталик собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Какое наибольшее число квадратов удастся собрать Виталику?

б) В наборе есть 30 палочек длиной 1 см, 2 см, ..., 30 см. Ханечка собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Какое наибольшее число квадратов удастся собрать Ханечке?

[hippie]

а)
Очевидно, что можно составить максимум 4 квадрата. Но сумеет ли их составить Виталик — вопрос отдельный.

б)
Не так очевидно, но максимальное возможное количество также 4.
Например, можно составить квадраты со сторонами 13, 20, 26 и либо 51 либо 52. Либо квадраты со сторонами 13, 26, 30 и 42.

[Ktina]

hippie в сообщении #1049320 писал(а):

а)
Очевидно, ...

б)
Не так очевидно, ...

У меня очевидность одинаковая в обоих пунктах.
Состоять из одной палочки может не более чем одна сторона квадрата (так как равных по длине палочек у нас нет). Остальные три стороны состоят как минимум из двух палочек каждая. Следовательно, на каждый квадрат уходит не менее 7 палочек. Таким образом, на 5 квадратов нужно не менее 35 палочек, а у нас их нет.

Пример для четырёх вкадратов из 31 палочки.
Разобьём все палочки на пары с суммой 31:
$(0, 31), (1, 30), (2, 29),\dots (15, 16)$
Каждая сторона четырёх наших квадратов будет образована одной из вышеперечисленных пар.

[hippie]

Ktina в сообщении #1049349 писал(а):

hippie в сообщении #1049320 писал(а):

а)
Очевидно, ...

б)
Не так очевидно, ...

У меня очевидность одинаковая в обоих пунктах.

Во втором случае нет такого же очевидного примера. Поэтому и не так очевидно!

[Ktina]

hippie
А как у Вас пример для 30 палочек получился?

[hippie]

Ktina в сообщении #1049358 писал(а):

hippie
А как у Вас пример для 30 палочек получился?

Хотелось бы сначала увидеть Ваш пример, учитывая что во второй задаче содержательно только построение примера, а

Ktina в сообщении #1049349 писал(а):

У меня очевидность одинаковая в обоих пунктах.

К сожалению, у меня примеры для второй задачи далеко не такие очевидные, как для первой .

PS
Сегодня у меня была бессонница, но вместо овечек я решил посчитать стороны квадратов . И, часа за полтора лежания с закрытыми глазами, насчитал пример для набора из двадцати девяти палочек. Попробуйте тоже построить такой пример.

Итак, третий пункт:
в) В наборе есть 29 палочек длиной 1 см, 2 см, …, 29 см. Ксюша собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Показать, что при достаточном везении , Ксюше удастся собрать 4 квадрата.

[Shadow]

hippie в сообщении #1049419 писал(а):

в) В наборе есть 29 палочек длиной 1 см, 2 см, …, 29 см. Ксюша собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Показать, что при достаточном везении , Ксюше удастся собрать 4 квадрата

$\\29,1+28,8+21,13+16\\ 27,2+25,5+22,12+15\\ 26,3+23,7+19,9+17\\ 24,4+20,10+14,6+18 $

Отдыхает $11$