Можно ли определить количество треугольников, не считая их?

[Dyndyk]

Типовое задание из школьного курса математики. Приведена симметричная фигура из множества треугольников, стоит задача определить, сколько всего треугольников изображено на рисунке.

Я всегда решал подобные задачи обычным подсчётом треугольников, что довольно утомительно и не всегда эффективно. Существуют ли более элегантные варианты решения подобных заданий?

[arseniiv]

Боюсь, для каждой фигуры ответ немного свой.

Например, для треугольников типа такого ↓

составляющие треугольники все равносторонние двух ориентаций (как у оранжевого и как у зелёного) и число треугольников одного размера и ориентации считается несложно, так что и общее число — тоже.

А если фигура нерегулярна…

Кстати, в подобных задачах ведь не обязательно треугольники считают. Попробуйте посчитать, сколько на рисунке ↑ ромбов, параллелограммов (ромбы включаются), трапеций (параллелограммы включаются) или шестиугольников.

[nnosipov]

Dyndyk в сообщении #1049116 писал(а):

Существуют ли более элегантные варианты решения подобных заданий?

Обычно всё множество треугольников (или иных интересующих фигур) разбивают на "слои", затем считают количество треугольников в каждом слое (слои надо подбирать так, чтобы этот подсчёт был очевиден или относительно несложен) и, наконец, суммируют найденные количества. Это общий подход к такого рода задачам. Некоторые примеры можно найти в теме topic76147.html

[ET]

А тут точно никакого аналога формулы Пика нету?
Простые прикидки на пальцах говорят о $2n+m-2$ и некоторые из лемм, которые у меня придумались для доказательства самой формулы Пика, здесь вроде доказываются