лемма Цорна

[Oleg Zubelevich]

Нужно ли в лемме Цорна требовать от отношения свойства $(x\le y)\wedge (y\le x)\Longrightarrow x=y$?

[bot]

Дык, лемма Цорна какбэ в стороне - антисимметричность заложена уже в частичном порядке.
Если же брать рефлексивно-транзитивное отношение, то фактор по отношению сравнимости будет ЧУМом, ну и ... , а что значит нужно требовать? Можно требовать, можно не требовать.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим множество $X$ с отношением $<$ таким, что $x<x$ и из того, что $x<y$ и $y<z$ следует, что $x<z$. Предположим, что для любого подмножества $C\subset X$, в котором сравнимы любые два элемента, найдется элемент $a_C\in X$ для которого $c<a_C,\quad \forall c\in C$.

Верно ли что существует элемент $m\in X$ такой, что если $x>m,\quad x\in X$ то $x=m$?

[NSKuber]

Oleg Zubelevich
Рассмотрим произвольное множество $X$ и отношение $< =X^2$. Оно рефлексивно и транзитивно, но сформулированная "лемма Цорна" неверна, если в множестве больше одного элемента.

[Oleg Zubelevich]

спасибо, ясно

[Nemiroff]

Лемма Цорна для предпорядка эквивалентна аксиоме выбора.
Только максимальный элемент определяется как $m\in X\; \forall x\in X \;m<x \Rightarrow x<m$.

[Oleg Zubelevich]

вот это то, что мне и было надо! спасибо

[Nemiroff]

Не сильно искал, взял первую попавшуюся ссылку: это если нужно доказательство для каких-то целей http://ncatlab.org/nlab/show/Zorn's+lemma