Функции и последовательности

[Shpilev]

Здравствуйте. Существует теорема про предел последовательности зажатой двумя другими (кто автор не помню, вроде как "теорема про 2-х миллиционеров" ).
А можно ли зажимать эту последовательность двумя функциями, и наоборот функцию зажать последовательностями и каким условиям должна соответствовать функция чтобы это было возможно?

Вопрос возник из-за аналогии последовательностей и функций. Единственные отличие это то что последовательность

\[ \mathbb{N} \to \mathbb{R} \]

,а функция

\[ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]

Если есть какие ссылки в литературе или интернете можете дать

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

Если есть какие ссылки в литературе или интернете можете дать

Так это и самому придумать можно: Если в какой-либо проколотой окрестности точки а верно двойное неравенство

\[f(x) \le g(x) \le h(x)\]

, причем обе крайние функции при стремлении аргумента к а имеют один и тот же предел С, то и средняя функция при стремлении аргумента к а имеет предел С.

[worm2]

Примените здравый смысл. Если последовательность зажата функцией, куда она денется? А если функция последовательностью, то она может промеж точек последовательности вихлять, и тем самым избежать зажатия везде.

[Shpilev]

Brukvalub
Это можно. Но я не функции с функциями сравниваю.
А последовательности с функциями и наоборот. Последовательность с функцией понятно - из функции выделить нужные мне последовательности и перейти к уже изветсной теореме.

worm2
Первый случай действительно понятный и доказать можно приводя к подпоследовательностям. А вот во втором можно ли из последовательности сделать функции то есть сказать что мы не

\[ \mathbb{N} \to \mathbb{R} \]

, а

\[ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]

и какие тогда условия на функцию накладываются и на последовательности?
То есть я как бы понимаю что функция может сделать любой скачок где угодно и когда угодно между точками последовательности. Но вот к примеру если наша функция непрерывна?? ведь даже часто виляющие функции имеют границу.

ЗЫ Я вообще про все это говорю потому что по определению предела функции в точке по Гейне мы можем любую функцию разбить на

\[ \infty \]

множество подпоследовательностей которые стремятся к этой к этой границе. Значит мы и зажимающие функции можем разбить на такие же подпоследовательности.
А теперь представим что у нас эти функции "исчезли" и остались только подпоследовательности. Ведь граница то зажатой функции то от этого не изменится?

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

А вот во втором можно ли из последовательности сделать функции то есть сказать что мы не \[ \mathbb{N} \to \mathbb{R} \], а \[ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \] и какие тогда условия на функцию накладываются и на последовательности?

Ну и возьмите кусочно-постоянную функцию, которая на отрезках между соседними натуральными числами совпадает с соответствующим членом последовательности. Только все это выглядит довольно искусственно, а зачем оно тогда нужно?

[Shpilev]

Brukvalub
Да. Искуственно.
Но мне казалось что это возможно для непрерывных монотонных функций или там для функций для которых существует обратная (строго монотонных)
Я в конце предыдущего сообщения написал что мне покоя не дает

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

Я вообще про все это говорю потому что по определению предела функции в точке по Гейне мы можем любую функцию разбить на

\[ \infty \]

множество подпоследовательностей которые стремятся к этой к этой границе.

Я бы не стал так описывать предел по Гейне. Боюсь, что любое образное описание определения предела по Гейне вовсе не добавляет этому понятию ясности и простоты, в только вносит сумятицу в умы.Не зря же математики шлифовали свои формулировки определения предела последние лет эдак 300

[worm2]

Ну вот пример: последовательности $a_n = \frac{1}{n}$, $b_n = -\frac{1}{n}$ и функция $f(x) = \sin(\pi x)$. Функция зажата между последовательностями a и b (поскольку равна 0 в целых точках). Однако при стремлении n и x к $\infty$ последовательности имеют одинаковый предел, равный 0, а функция не имеет предела.

Возможно, я неправильно понял Вашу задачу. Присоединяюсь к Brukvalubу, обращающему Ваше внимание на необходимость чётких формулировок.

[Shpilev]

Ну эээ... Да действительно не внятно написано
То есть если у функции существует граница в точке, то по Гейне это значит что какую бы последовательность я не взял, такую что:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n = x_0 \]

то

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f(x_n ) = A \]

, где f - наша фукция, а А - ее граница в точке.

А ведь я при нахождении предела мог зажимать функцию любыми двумя другими, соответствующих условию "теормы о 2-х..." (стыдно даже так называть эту теорему ). И соответственно мы и их можем разбить на такие же подпоследовательности.
А теперь если представить что 2-е зажимающие функции "исчезли", а остались только какие угодно их подпоследовательности, что же нам тогда делать??
По идее то, ни одной из предыдущих теорем мы воспользоваться не можем.
Неужели никак нельзя выкрутиться?

Добавлено спустя 5 минут 12 секунд:

worm2
Да. Я понимаю что это будет справедливо не для всех функций.
Ну вот к примеру для монотонных это вроде бы как должно действовать...
Извините. Действительно очень пространно вопрос сформулировал. В этом сообщении постарался более конкретизировать то что меня смущает (это я и про незнание правильного названия теоремы )

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

То есть если у функции существует граница в точке, то по Гейне это значит что какую бы последовательность я не взял, такую что:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n = x_0 \]

то

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f(x_n ) = A \]

, где f - наша фукция, а А - ее граница в точке.

Требуется еще одно уточнение:

\[x_n \ne x_0 \]

[Shpilev]

чувствую что описать математическими терминами слово "исчезновение" функций окажется мне не под силу
Я вообще говоря серъезно спрашиваю

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

чувствую что описать математическими терминами слово "исчезновение" функций окажется мне не под силу Laughing
Я вообще говоря серъезно спрашиваю Very Happy

Shpilev писал(а):

По идее то, ни одной из предыдущих теорем мы воспользоваться не можем.
Неужели никак нельзя выкрутиться?

Я так и не понял, зачем из чего-то выкручиваться. Уже созданного аппарата хватает для всех задач, в которых нужно доказать свойства предела, или вычислить его. Вы не формулируете конкретной задачи, а ведёте разговор "вообще". Новые теоремы в этом направлении просто не нужны, либо они тривиально вытекают из уже известных.Так что я, например, вообще потерял представление о том, из чего же собственно нужно выкрутиться? Лучше бы Вам привести здесь конкретную задачу, под которую Вы создаете новую теорему. Глядишь, удалось бы Вам помочь на основе уже известных теорем

[Shpilev]

Можно ли конечным числом последовательностей (больше 2-х) зажать функцию и каковы должны быть свойства этой функции?
Я не говорю про искуственно созданную функцию на основе последовательностей. И мне интересно достаточно ли будет того что функция непрерывна и монотонна.

[Brukvalub]

Shpilev писал(а):

Можно ли конечным числом последовательностей зажать функцию?

Как это "зажать функцию последовательностями"? Сам термин непонятен.

[PAV]

Вообще говоря, нет. В конечном числе последовательностей всегда есть дырки, через которые функция может успеть вылезти и влезть обратно.

Если наложить на функцию некоторые специальные условия - тогда может быть. Например, монотонности хватает.