2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение26.08.2015, 16:35 


10/02/11
6786
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$\dot x=f(x)+\epsilon g(t,x)+\psi(t,x,\epsilon)\qquad (*)$$ в области $D\subset \mathbb{R}^2,\quad x=(x_1,x_2)\in D$. Функции в правой части считаются гладкими в $\mathbb{R}_t\times D\times(-\epsilon_0,\epsilon_0)$ и $2\pi$-периодическими по $t$. Здесь $\epsilon\in (-\epsilon_0,\epsilon_0)$ -- малый параметр, $|\psi(t,x,\epsilon)|\le c\epsilon^2.$

Предположим, что невозмущенная система ($\epsilon=0$) имеет гиперболическое положение равновесия в нуле: $f(0)=0$. Через $\lambda_+<0<\lambda_-$ обозначим собственные числа матрицы $f'(0)$. Кроме того, предположим, что невозмущенная система имеет двоякоасимптотическое решение $x_0(t),\quad x_0(t)\to 0$ при $t\to\pm\infty$. На фазовом портрете это петля сепаратрисы, начинающаяся и заканчивающаяся в положении равновесия $0$. В этом случае невозмущенная система имеет континум двоякоасимптотических решений $$\{x_0(t+t_0)\mid t_0\in\mathbb{R}\}.\qquad(**)$$
При малом возмущении системы ($\epsilon\ne 0$ -- мало) положение равновесия перейдет в гиперболическое периодическое решение $p_\epsilon(t),\quad p_\epsilon(t+2\pi)=p_\epsilon(t),\quad p_\epsilon(t)\to 0$ при $\epsilon\to 0$. В расширенном фазовом пространстве $S^1\times D$ к решению $p_\epsilon$ примыкают два гладких двумерных многообразия -- устойчивое и неустойчивое. Устойчивое многообразие состоит из решений вида $x(t)\to p_\epsilon(t),\quad t\to\infty$, а неустойчивое из решений вида $x(t)\to p_\epsilon(t),\quad t\to-\infty$.
При $\epsilon=0$ устойчивое многообразие совпадает с неустойчивым и оба они состоятт из решений (**) Наша задача будет состоять в том что бы выяснить достаточные условия, при которых устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются при малых $\epsilon\ne 0$. Т.е. условия при которых в возмущенной системе сохранятся двоякоасимптотические решения.

Введем обознпачения. $a\wedge b=a_1b_2-a_2b_1,\quad a=(a_1,a_2),\quad b=(b_1,b_2);\quad A(t,t_0)=f'(x_0(t+t_0))$
$$P(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\int_\xi^0\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds\Big) f\big(x_0(\xi+t_0)\big)\wedge g\big(\xi,x_0(\xi+t_0)\big)d\xi\qquad(***)$$

Теорема. Если при некотором $t_0$ выполнены условия $P(t_0)=0$ и $P'(t_0)\ne 0$. То при малых $\epsilon$ система (*) имеет двояко асимптотическое решение $x_\epsilon(t)$, которое при $\epsilon\to 0$ переходит в решение $x_0(t+t_0)$.

Замечание. В случае гамильтоновых систем $\mathrm{tr}\, A(s,t_0)\equiv 0$ формулы значительно упрощаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 11:46 


10/02/11
6786
Доказательство.

Разложим в ряд по степеням малого параметра асимтотические решения
$$x^{su}(t,t_0,\epsilon)=x_0(t+t_0)+\epsilon x_1^{su}(t,t_0)+O(\epsilon^2),$$
$x^u(t,t_0,\epsilon)\to p_\epsilon(t),\quad t\to-\infty$ и $x^s(t,t_0,\epsilon)\to p_\epsilon(t),\quad t\to\infty$. Индексы $u,s$ означают unstable, stable.
Подсталяя формулу для $x^{su}$ в уравнение (*) находим $$\dot x_1^{su}(t,t_0)=A(t,t_0)x_1^{su}(t,t_0)+g(t,x_0(t+t_0)).\qquad(!)$$ Точкой обозначается производная по $t$.
В области $D$ через точку $x_0(t_0)$ проведем одномерную площадку $\Pi$ трансверсально вектору $f(x_0(t_0))$. По теореме о неявной функции найдутся такие значения $t^{su}(\epsilon)=t_0+\epsilon t_1^{su}+O(\epsilon^2)$, что $x^{su}(0,t^{su},\epsilon)\in \Pi$.
Измерять расщепление сепаратрис будем с помощью функции
$$\Delta (t_0,\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}f(x_0(t_0))\wedge\big(x^s(0,t^{s},\epsilon)-x^u(0,t^{u},\epsilon)\big).$$
При малых $\epsilon\ne 0$ верно следующее: $\Delta (t_0,\epsilon)=0\Longleftrightarrow x^s(0,t^{s},\epsilon)=x^u(0,t^{u},\epsilon)$.
Дальше мы применяем теорему о неявной функции к уравнению $\Delta(t_0,\epsilon)=0\Longrightarrow t_0=t_0(\epsilon)$. Что и дает искомое двоякоасимптотическое решение.

Оставшаяся часть текста посвящена выводу формулы
$$\Delta(t_0,\epsilon)=P(t_0)+O(\epsilon).\qquad (!!)$$


Поскольку $$x^{su}(0,t^{su},\epsilon)=x_0(t_0)+\epsilon f(x_0(t_0))t_1^{su}+\epsilon x_1^{su}(0,t_0)+O(\epsilon^2)$$
имеем
$$\Delta (t_0,\epsilon)=f(x_0(t_0))\wedge\big(x_1^s(0,t_0)-x_1^u(0,t_0)\big)+O(\epsilon).$$
Введем вспомогательные функции $$\delta^{su}(t,t_0)=f(x_0(t+t_0))\wedge x_1^{su}(t,t_0),\quad \Delta (t_0,\epsilon)=\delta^{s}(0,t_0)-\delta^{u}(0,t_0)+O(\epsilon).\qquad (!!!)$$
Заметим, что $\delta^{s}(t,t_0)\to 0,\quad t\to\infty$ и $\delta^{u}(t,t_0)\to 0,\quad t\to-\infty$ ибо $f(x_0(t+t_0))\to 0,\quad t\to\pm\infty$.
Дальше нам понадобится следующая тривиальная
Лемма. Пусть $A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ -- линейный оператор. Верна формула
$$(Ax)\wedge y+x\wedge(Ay)=(\mathrm{tr}\,A)x\wedge y.$$
Используя эту формулу и формулу (!) находим
$$\dot \delta^{su}=\mathrm{tr}\, A(t,t_0)\delta^{su}+f(x_0(t+t_0))\wedge g(t,x_0(t+t_0)).$$
Откуда
$$ \delta^{su}(t,t_0)=e^{\int_\tau^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds} \delta^{su}(\tau,t_0)+\int_\tau^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi.$$
Мы собираемся переходить к пределам в этом интеграле при $\tau\to\pm\infty.$ Для этого отметим следующие формулы
$$|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t}),\quad t\to\pm\infty;\quad \mathrm{tr}\, A(t,t_0)=(\lambda_++\lambda_-)(1+o(1)).$$
И так
$$\delta^{s}(t,t_0)=\int_{\infty}^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi;$$
$$\delta^{u}(t,t_0)=\int_{-\infty}^te^{\int_\xi^t\mathrm{tr}\, A(s,t_0)ds}f(x_0(\xi+t_0))\wedge g(\xi,x_0(\xi+t_0))d\xi$$
Подставляя это в (!!!) получаем (!!).
Теорема (по модулю технических подробностей) доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 12:35 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Мельников (1961)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 12:39 


10/02/11
6786
Пуанкаре (1892)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 14:59 


10/02/11
6786
написано
Oleg Zubelevich в сообщении #1048350 писал(а):
$$x_0(t)=e^{\lambda_\pm t}(1+o(1))$$

должно быть $|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 21:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i 
Oleg Zubelevich в сообщении #1048398 писал(а):
написано
Oleg Zubelevich в сообщении #1048350 писал(а):
$$x_0(t)=e^{\lambda_\pm t}(1+o(1))$$

должно быть $|x_0(t)|=O(e^{\lambda_\pm t})$
Поправил, проверьте.
Если хотите вносить исправления в текст, то пользуйтесь механизмом жалоб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расщепление сепаратрис Интеграл Пуанкаре
Сообщение27.08.2015, 21:15 


10/02/11
6786
thanx

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group