Фехтовальщики

[Ktina]

Два фехтовальщика сразились в нескольких поединках. В каждом поединке за победу начислялось 4 очка, за ничью — 2 очка и за поражение — 1 очко. При этом вместе они набрали 170 очков.

а) Мог ли победитель набрать ровно 90 очков?
б) А 91 очко?
в) Найти все возможные значения количества очков, которые мог набрать победитель.

[NSKuber]

a) Нет, так разница очков у фехтовальщиков всегда кратна трём, а в данном случае она должна равняться десяти.
б) Да, например, победитель выиграл пять раз, проиграл один раз, а все остальные бои закончились ничьёй.
в) Любое число от 88 до 136, имеющее остаток 1 от деления на 3.

Пусть победитель может набрать $x$ очков. Тогда проигравший набирает $170-x$ очков, разница между очками равняется $170-2x$ и она делится на три. Тогда, очевидно, набрать $x+1$ или $x+2$ очков победитель не может, так как в этих случаях разница не будет кратна трём. Значит шаг - не меньше трёх.
Очевидно, победитель должен набрать больше 85. 88 набрать - не проблема: два раза выиграл, остальное вничью. Следовательно, остатки должны равняться единице, как у 88.

Пусть $x$ - допустимое чётное число очков, то есть вида $88+6k$, $0\leq k\leq 8$. Тогда, выиграв $4k+2$ раз, а остальные $40-5k$ поединков сыграв вничью, победитель набирает $88+6k$ очков. Если $x$ - допустимое нечётное число очков, то есть вида $85+6k$, $1\leq k\leq 8$, то победителю надо выиграть $4k+1$ раз, проиграть один раз, а остальные $40-5k$ поединков - вничью. Таким образом, все допустимые числа от 88 до 136 покрыты, а больше 136 получить невозможно - надо провести больше 34 боёв, и проигравший точно будет иметь больше 34 очков.

[Ktina]

NSKuber
Спасибо за красивое и полное решение!