удары, сильные разрывы, обобщенные решения

[Munin]

Red_Herring
Тут, боюсь, может быть путаница между двумя прочтениями термина "граничные условия":
- условия на границе раздела двух подобластей;
- условия на границе области решения.

Я понимаю, что обобщённые функции и производные могут давать первое, но не вижу, как они могут поставлять второе. Здесь, как я понимаю, работает оговаривание класса (пространства) функций, в котором ищется решение.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1047770 писал(а):

Red_Herring
Тут, боюсь, может быть путаница между двумя прочтениями термина "граничные условия":
- условия на границе раздела двух подобластей;
- условия на границе области решения.

Я понимаю, что обобщённые функции и производные могут давать первое, но не вижу, как они могут поставлять второе. Здесь, как я понимаю, работает оговаривание класса (пространства) функций, в котором ищется решение.

Я имел в виду только границу раздела. Но на самом деле и с наружной границей можно поступить аналогично (и это небесполезное упражнение): рассмотрим $\Delta u= f$ в $\Omega$, $u|_{\partial \Omega}=g$. Продолжим $u$ нулем вне $\Omega$, пусть это будет $u^0$. Тогда

$$\Delta u^0=f+\phi \delta_{\partial \Omega} + \psi \partial_n \delta_{\partial \Omega}$$

где

$$\phi=\partial_nu |_{\partial\Omega}, \psi= u |_{\partial\Omega}$$

.
Ну и имеем уравнение от-но $u^0,\phi$

$$\Delta u^0=f+\phi \delta_{\partial \Omega} + g \partial_n \delta_{\partial \Omega}$$

[sup]

Мне кажется, что здесь имеет место небольшое недоразумение.
С одной стороны, Утундрий безусловно прав в том, что интегральные уравнения (законы сохранения) первичны. А дифференциальные уравнения с "поточечными" производными не полностью описывают разрывные решения.
С другой стороны

Утундрий в сообщении #1047497 писал(а):

Ну, я просто (в свою очередь) не понимаю, как надо вывернуть себе мозги математикой, чтобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная.

Вот здесь надо сказать, что обобщенные производные это не совсем локальный объект. Точнее, они не сводятся к поточечным производным. Они и определяются не локально и содержат в себе всю информацию о разрывах. Ну в самом деле, производная от ступеньки это $\delta$-функция. А не тождественный 0. Поэтому в уравнениях Эйлера присутствуют самые настоящие распределения. И понимать их нужно в соответствующем смысле - с помощью пробных функций. Что Oleg Zubelevich и сделал. И выписал интегральные соотношения $(**)$, которые в точности эквивалентны интегральным законам сохранения. Именно поэтому высказывания Утундрий выглядят как "придирка". Но может уравнения Эйлера не адекватны данной задаче? Тогда да, проблемы. Но ведь они и есть интегральные законы сохранения, только в другом виде. Разве нет?
Можно, конечно, еще и задаться вопросом: а зачем надо было интегральные уравнения превращать в дифференциальные, чтобы потом вернуть их обратно и, в конечном итоге, написать баланс массы и импульса на границе раздела? Ну, как мне кажется, это вопрос риторический.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #1048343 писал(а):

а зачем надо было интегральные уравнения превращать в дифференциальные

я как-бэ не превращал, я объяснил в каком смысле надо понимать дифференциальные уравнения что бы получить условия на разрыве

[sup]

Я, наверное, неаккуратно выразился. Прошу прощения.
Я просто имел в виду, что это личное дело каждого решающего. Кому как удобнее, то так и решает.