Докажите AM-GM )

[iancaple]

$a,b,c$- любых знаков, но удовлетворяют неравенствам
$a+b+7c\geqslant 0$
$a+c+7b\geqslant 0$
$b+c+7a\geqslant 0$
Тогда $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$

[Evgenjy]

$a+b+c\geqslant 0$ (из равенств условия). Сл-но как минимум одно из $a, b, c $ -- положительно. Если все положительны -- это AM-GM. Если одно, то слева у доказываемого неравенства положительное справа отрицательное число. Если два отрицательных. Эквивалентно:
$a-b-c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}$ при положительных $a, b, c $ и $a\geqslant 4(b+c)$. Справа вместо $bc$ подставив $(\frac{b+c}{2})^2$ , а затем вместо $b+c$ подставив $a/4$ (и справа и слева) получим верное неравенство.

[iancaple]

Evgenjy Спасибо!
Видимо, это самый простой путь.
У меня случайно получилось

$$(a+b+c)^3-27abc=...=\dfrac{a+b+7c}2(a-b)^2+\dfrac{a+c+7b}2(a-c)^2+\dfrac{c+b+7a}2(c-b)^2$$

, откуда все и пошло
Равенство , если $a=b=c$, либо если два из трех данных ограничений обращаются в равенство.
Пока все идет к тому, что можно и школьникам предложить.

[arqady]

iancaple в сообщении #1046958 писал(а):

У меня случайно получилось

$$(a+b+c)^3-27abc=...=\dfrac{a+b+7c}2(a-b)^2+\dfrac{a+c+7b}2(a-c)^2+\dfrac{c+b+7a}2(c-b)^2$$

Это совсем не случайность:
$(a+b+c)^3-27abc=\sum\limits_{cyc}(a^3+3a^2b+3a^2c-7abc)=$
$=\sum\limits_{cyc}(a^3-abc+3a^2b+3a^2c-6abc)=(a+b+c)\sum\limits_{cyc}(a^2-ab)+3\sum\limits_{cyc}c(a-b)^2=$
$=\sum\limits_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{a+b+c}{2}+3c\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{cyc}(a-b)^2(a+b+7c)$.
Кстати, Ваше неравенство можно усилить вот так:
Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, для которых $a+b+c\geq0$ и $5(a^2+b^2+c^2)+22(ab+ac+bc)\geq0$. Докажите, что:

$$a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$$

(равенство достигается)

ещё в точке $(8, -1, -1)$, например

[Rak so dna]

arqady в сообщении #1047066 писал(а):

iancaple в сообщении #1046958 писал(а):

У меня случайно получилось

$$(a+b+c)^3-27abc=...=\dfrac{a+b+7c}2(a-b)^2+\dfrac{a+c+7b}2(a-c)^2+\dfrac{c+b+7a}2(c-b)^2$$

Это совсем не случайность:

И все-таки это случайность Ведь существует если не бесконечно, то по крайней мере очень много похожих равенств, например:

$$(a+b+c)^3-27abc=\frac{a+2b+6c}2(a-b)^2+\frac{a+6b+2c}2(a-c)^2+\frac{9a}2(c-b)^2$$

$$...=\frac{a^2+b^2+11c^2+ab+4ac}{a+b+2c}(a-b)^2+\frac{6b^2+5ab+6bc+ac}{a+b+2c}(a-c)^2+\frac{2c^2+5ab+5bc+6ca}{a+b+2c}(c-b)^2$$

$$...=\frac{a^3+b^3+25c^3+3a^2c+4b^2c+2abc}{a^2+b^2+5c^2+bc}(a-b)^2+\frac{3b^3+c^3+5a^2b+5ac^2+6b^2c+16bc^2}{a^2+b^2+5c^2+bc}(a-c)^2+$$

$$\frac{3a^3+4c^3+5ab^2+12ac^2+8bc^2+4abc}{a^2+b^2+5c^2+bc}(c-b)^2$$

Докажите, что исходное неравенство верно и при условии $a\geqslant0$ и $a+4(b+c)\geqslant0$

[iancaple]

arqady-спасибо! Ваше условие во всем шире исходного, см. рис., матпакет строил. Да в него и аналитически преобразуется $\sum_{cyc}(a+b+7c)(a+c+7b)\geq 0$ Но точки, в которых достигается равенство, у нас общие.
Rak so dna,спасибо! Я уже подготовил (фривольную несколько) диаграмму в трилинейных координатах, кто же из нас что утверждал тут, но думал, будет ли она нужна, всем все было ясно.Теперь нужна.

Как видите, борьба идет в основном за то, чтобы от белых областей внутри углов $60^o$ отщипнуть еще что-нибудь, и Вам это удалось даже в сравнении с arqady,

Цитата:

$a\geqslant 0$ и $a+4(b+c)\geqslant 0$

Ваша область -сиреневая .

[ex-math]

(Оффтоп)

Прошу прощения за занудство, но все-таки Cauchy.

[iancaple]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1047172 писал(а):

Прошу прощения за занудство, но все-таки Cauchy.

ой, это же французский.Исправить уже не могу

[Evgenjy]

iancaple в сообщении #1047159 писал(а):

Я уже подготовил (фривольную несколько) диаграмму в трилинейных координатах

Поясните пожалуйста, где на диаграмме находится, например, точка $(0, 0, 0)$?

[sergei1961]

Красиво!

[iancaple]

Evgenjy в сообщении #1047205 писал(а):

Поясните пожалуйста, где на диаграмме находится, например, точка $(0, 0, 0)$?

Видимо, Вы уже знаете, но я обязан ответить. Трилинейные координаты тут возникли естественно. Область пространства, в которой выполняется AM-GM -конус общего вида, прямая $a=b=c$- ось, при вращении вокруг которой на треть оборота конус переходит в себя. Интереснее всего рассмотреть сечение конуса плоскостью $a+b+c=M>0$, что и представлено на рисунке. Поэтому ответ: такой точки на рисунке нет

[sergei1961]

А в обычных прямоугольных координатах можно нарисовать области, где выполняется. Скажем, в первом октанте - классический случай и тд.

[ИСН]

В обычных некрасиво.

[sergei1961]

Интересно, а можно получить представление для всех полиномов $P,Q,R$ от трёх переменных $a,b,c$, для которых выполняется тождество:

$$ (a+b+c)^3 - 27abc=P*(a-b)^2 + Q*(b-c)^2 + R*(c-a)^2? $$

Понятно, что можно расписать через коэффициенты, но выглядит непросто.

[Rak so dna]

sergei1961 в сообщении #1047236 писал(а):

Интересно, а можно получить представление для всех полиномов $P,Q,R$ от трёх переменных $a,b,c$, для которых выполняется тождество:

$$(a+b+c)^3 - 27abc=P*(a-b)^2 + Q*(b-c)^2 + R*(c-a)^2?$$

Понятно, что можно расписать через коэффициенты, но выглядит непросто.

Вы, конечно же, имеете в виду многочлены с неотрицательными коэффициентами.
Можно выписать $20$ базисных полиномов (возможно их меньше) из которых методом линейной комбинации получатся все возможные решения. Это если $P$, $Q$ и $R$ именно полиномы, а не рациональные функции. В последнем случае, конечно же, решений намного больше.