Решение уравнения методом конечного фурье-преобразования

[Pumpov]

Привет.

Мне нужна помощь, чтобы разобраться в статье http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S16 ... ci_arttext

В ней с помощью конечного фурье-преобразования решается уравнение для функции двух неизвестных $\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} + \lambda w = 0 $ с определенными граничными условиями.

У меня получается ряд

$ w(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty} (C_m_0 I_m_0 + D_m_0 J_m_0)\cos(\alpha_m x) + \sum_{n=1}^{\infty} (C_0_n I_0_n + D_0_n J_0_n)\cos(\beta_n y) + 2 \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} (C_m_n I_m_n + D_m_n J_m_n)\cos(\alpha_m x)\cos(\beta_n y)$ ,
который несколько отличается от формулы (19) в статье. Перед формулой (18) автор делает обозначения для $I_m$ и $J_n$ . Однако если посмотреть на них, то видно, что эти величины зависят ещё и от второго целочисленного параметра, т.е. должно быть $I_m_n$ и $J_m_n$.

С помощью граничных условий в статье получают линейные уравнения для величин ряда - формула (26). У меня с учетом зависимости от двух параметров получается

$\sum_{m=1,3,5}^{\infty} \alpha^2_m (C_m_0 I_m_0 + D_m_0 J_m_0) $ для $n = 0 ...\max$
$\sum_{m=1,3,5}^{\infty} (\alpha^2_m + \nu \beta^2_m) (C_m_n I_m_n + D_m_n J_m_n) $ для $n = 0 ...\max$
$\sum_{n=1,3,5}^{\infty} \beta^2_n (C_0_n I_0_n + D_0_n J_0_n) $ для $m = 0 ...\max$
$\sum_{n=1,3,5}^{\infty} (\beta^2_n + \nu \alpha^2_m) (C_m_n I_m_n + D_m_n J_m_n) $ для $m = 0 ...\max$ .

Возникает проблема, что в моей системе число неизвестных больше, т.к. вместо $I_m$ и $J_n$ теперь $I_m_n$ и $J_m_n$. Уравнений не хватает. Если же считать, что все $I_m_n = I_m$ и $J_m_n = J_n$, то уравнений достаточно. Но это не так, что видно из определений этих величин перед формулой (18).

В статье ошибка?