2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Борелевская конечно-аддитивная, но не счётно-аддитивная мера
Сообщение13.08.2015, 16:39 
Аватара пользователя
Собственно, предлагается привести пример борелевской, конечно-аддитивной, но не счётно аддитивной меры. Задача отсюда (какая-то из контрольных Вербицкого по мере), и там написано, что эту задачу сам Вербицкий не знает как решить без ультрафильтров. Я придумал следующее: введём меру на сигма-алгебре $(\mathbb{R}, 2^{\mathbb{R}})$ следующим образом:
1) Мера одноточечного множества $\{x\}$ равна $m(\{x\}) = \frac{1}{|x|}$.
2) Мера любого конечного множества - по аддитивности.
3) Мера любого бесконечного множества $=+\infty$.
теперь ограничим $2^{\mathbb{R}}$ на сигма-алгебру борелевских множеств. Получим требуемую меру (счётно аддитивность теряется, например, если взять объединение одноточечных множеств вида $\{\frac{1}{n^2}\}$), мне интересно, я что-то в задаче не допонял, или собака была зарыта столь неглубоко? Или имелись в виду только конечные меры?

 
 
 
 Re: Борелевская конечно-аддитивная, но не счётно-аддитивная мера
Сообщение13.08.2015, 17:16 
Аватара пользователя
Можно ещё проще: все конечные множества имеют меру 0, бесконечные -- $+\infty$.

 
 
 
 Re: Борелевская конечно-аддитивная, но не счётно-аддитивная мера
Сообщение13.08.2015, 18:28 
Аватара пользователя
Судя по всему, в задаче неявно предполагалось, что мера любого ограниченного множества конечна. Это вполне естественное ограничение для различных задач. Но да, такое нужно явно оговаривать.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group