Одинаковые произведения, но разные суммы

[Ktina]

Верно ли, что для любого натурального $n$ найдутся такие две пары натуральных чисел, что произведения в этих парах одинаковы, а суммы отличаются ровно в $n$ раз?

[Shadow]

Да, для любого $n>1$, существуют бесконечно много таких пар, напр:

$\\x_1=(p+q+qn)(p+q-qn)=(p+q)^2-(qn)^2\\ x_2=(qn+p-q)(qn-p+q)=(qn)^2-(p-q)^2 $
и

$\\x_3=(p+qn+q)(p+qn-q)=(p+qn)^2-q^2\\ x_4=(q+p-qn)(q-p+qn)=q^2-(p-qn)^2$

где $n-1<\frac p q<n+1$

Очевидно, $x_1x_2=x_3x_4\text{ и } x_1+x_2=4pq,\;x_3+x_4=4pqn$

[Shadow]

Более удобная параметризация: (точнее, более удобный вид)

$\\x_1=p(p-qn)\\ x_2=q(pn-q)\\ x_3=p(pn-q)\\ x_4=q(p-qn)$

где $p>qn$

Конечно, с делением на НОД и умножением на натуральный параметр.

[Sergic Primazon]

или так еще можно :

$a= n^4+n^3+n^2 $ , $ b=n$

$c=n^2+n+1$ , $d=n^3$

$ab=cd$ , $a+b=n(c+d)$

[Shadow]

Sergic Primazon, да, частные случаи, самый простой по моему $(2n+1,2n-1);\;(4n^2-1,1)$

[Andrey A]

Shadow в сообщении #1045042 писал(а):

Конечно, с делением на НОД и умножением на натуральный параметр.

Это ведь интересный вопрос - каким должен быть НОД, у меня чуть по-другому вышло. Общее решение уравнения $xy=zt$: $x=ac;y=bd;z=ad;t=bc.$ Запишем $ac+bd=n(ad+bc)$ или $a(c-dn)=b(cn-d)$.

$$\frac{a}{b}=\frac{cn-d}{c-dn}.$$

Пару $(c,d)$ можно брать в качестве свободных аргументов и вполне себе решение, но чтобы последняя дробь оказалась сократима на некоторый модуль $m$, должно выполняться $n^2\equiv1\mod m$, что следует из

$$\begin{cases} cn\equiv d \\ c\equiv dn \end{cases}$$

$c-dn=km$ или $c=km+dn.$ Можно и числитель переписать в нужном виде.