2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 16:12 
Аватара пользователя
$$\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{e^x+1}\,dx$$
Вольфрам альфа говорит, что этот интеграл равен $-\frac12\ln^22$, но у меня никак не выходит это вывести. Пытался преобразовывать заменами, вводить параметр - ничего. Удалось только представить в виде ряда:

$-\gamma\ln2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n\ln n$

Соответственно, с нахождением суммы ряда тоже проблема. Прошу подсказать какие-нибудь идеи.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 16:23 
Аватара пользователя
А он разве не неограничен в нуле?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 16:31 
Аватара пользователя
В нуле подынтегральная функция эквивалентна логарифму (с константой), а интеграл от логарифма в окрестности нуля ограничен.

$\int\limits_{\varepsilon}^1\ln x\,dx=\varepsilon-1-\varepsilon\ln\varepsilon\to-1,\ \varepsilon\to0+$

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 16:53 
Можно посмотреть решение в книге "Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly" (задача 293). Здесь этот интеграл тоже обсуждался, можно попробовать поискать.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 16:57 
Аватара пользователя
Как бы потоньше намекнуть... Умножить верх на $x^a$, потом типа продифференцировать по $a$, только наоборот.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл не поддается
Сообщение11.08.2015, 17:32 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1044498 писал(а):
Можно посмотреть решение в книге "Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly" (задача 293).


Огромное спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group