Индукция

[SeverniyVeterok]

Привет.

Дана задача-

доказать с помощью индукции, что при каждом натуральном $n -
$3^n + $7^n - $2 делится на 8

Доказательство -

База-
пусть $n=1 , тогда $3^n + $7^n - $2 = $3^1 + $7^1 - $2 = 8 -делиться на 8 - то есть оно верно.

Пусть оно выполняется для n = k
Тогда можно доказать тоже только для n = k+1

A$_{k+1}$ = $3^{k+1} + $7^{k+1} - $2

Но вот тут проблема -если ранее подобные задачи я мог привести к такому виду чтобы можно было показать что каждая часть делится , то тут я не знаю как это сделать..

Дайте подсказку плиз..

[Taras]

$7^{n+1}+3^{n+1}-2=7\cdot 7^n+3\cdot3^n-2=7(7^n+3^n-2)-4\cdot3^n+12=7(7^n+3^n-2)-4(3^n-3)$.
Достаточно?

[SeverniyVeterok]

Taras писал(а):

$7^{n+1}+3^{n+1}-2=7\cdot 7^n+3\cdot3^n-2=7(7^n+3^n-2)-4\cdot3^n+12=7(7^n+3^n-2)-4(3^n-3)$.
Достаточно?

Привет
Если честно, то нет.

Я не понимаю как отсюда 7\cdot 7^n+3\cdot3^n-2 перейти вот сюда - 7(7^n+3^n-2)-4\cdot3^n+12

Сам ответ то понятен так как 7(7^n+3^n-2) делиться по предположению и 4(3^n-3) делится на 8 так как (3^n-3) всегда чётное, а 4 * на любое чётное всегда делится на 8

[Taras]

Хм..странно...
Коефициенты перед $7^n$ i $3^n$ - равны и в левой и в правой части и -2 присутсвтует и там и там-скобки откройте.

[SeverniyVeterok]

Taras писал(а):

Хм..странно...
Коефициенты перед $7^n$ i $3^n$ - равны и в левой и в правой части и -2 присутсвтует и там и там-скобки откройте.

Тьфу ты блин- я ваще уехал наверно
Всё понятно..

спасибо