Как известно,
корреляционным моментом случайных величин

и

, имеющих математические ожидания

и

, называется математическое ожидание случайной величины

. Величины, корреляционный момент которых отличен от нуля, называются коррелированными. Известно, что коррелированность величин - достаточное, но не необходимое условие их зависимости. То есть корреляция говорит о зависимости, отсутствие корреляции ни о чем не говорит (разве что об отсутствии функциональной линейной зависимости).
Я задался вопросом о корреляции случайной величины с неслучайной функцией от нее. Зависимость налицо, причем самая жесткая - функциональная. Вопрос, для каких функций корреляционный момент выявляет, а для каких не выявляет этой зависимости. У меня получилась на этот счет одна теорема и одна гипотеза. Не сомневаюсь, что, если они верны, они широко известны, но в учебниках по теории вероятности, которые я читал, их не было (возможно, они есть в учебниках матстатистики - до нее я пока не добрался). Теорему я прошу проверить (я мог ошибиться в доказательстве), а про гипотезу я хочу спросить, верна ли она.
Рассмотрим дискретную случайную величину

. Случайная величина называется
дискретной, если существует лишь конечное множество

, значения из которого она принимает с отличной от нуля вероятностью, причем сумма вероятностей по всем элементам

равна единице. Рассмотрим определенную на

функцию

- вероятность значения

.
Теорема. Пусть

- дискретная случайная величина,

- множество ее возможных значений и

- вероятность значения

. Пусть

- неслучайная функция. Если

и

- четные функции, причем

,

и

некоррелированы.
Доказательство.
Пусть

содержит

значений:

.
В силу четности

и условия

верно

, поэтому

. Вероятность значения

обозначим

. В силу того, что

- неслучайная функция, а также четности

и

, вероятность пары

равна

, в то время как при

верно

.
Тогда корреляционный момент

и

равен
![$$K_{x \varphi} = \sum\limits_{i=1}^{n}p_i [x_i (\varphi(x_i) - m_\varphi) - x_i (\varphi(x_i) - m_\varphi)] = 0 $$ $$K_{x \varphi} = \sum\limits_{i=1}^{n}p_i [x_i (\varphi(x_i) - m_\varphi) - x_i (\varphi(x_i) - m_\varphi)] = 0 $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/3/213c9bf5d5e88e06d74af360589ccb9682.png)
Теорема доказана.
Математически эта теорема тривиальна, но она кажется мне удобной иллюстрацией недостатков корреляционного момента. Ибо класс четных функций весьма обширен - это

,

и т.д. Но это - если я нигде не ошибся в доказательстве. А я нигде не ошибся?
Гипотеза. Пусть

-
равномерно распределенная дискретная случайная величина,

- множество ее возможных значений и

- неслучайная функция. Если

возрастает на всем

, то

и

положительно коррелированы. Если

убывает на всем

, то

и

отрицательно коррелированы.
Мне удалось доказать это для частного случая двух возможных значений:

, причем

(нумерация по возрастанию). Там после несложных преобразований имеем

Отсюда, принимая во внимание, что

, при возрастании

получаем положительный момент корреляции, а при убывании - отрицательный.
Замена

на произвольное

привела к выражению, которое я не смог преобразовать (признаться, я не силен в преобразованиях). Поэтому я спрошу: есть ли такая теорема? А если ее нет, то есть ли контрпример?
Наконец, неприятно, что в условии требуется равновероятность распределения. Может быть, это требование можно ослабить?