Потенциал в электростатике

[Viktor92]

Здравствуйте, никак не разберусь с понятием потенциала в электростатике, уже все учебники пересмотрел, везде даётся стандартное определение, которое вполне логично, что потенциал относительно точки (бесконечности) есть работа сил , по переносу заряда из опорной точки (бесконечности) в точку, в которой вычисляем потенциал, и по сути потенциал - это есть потенциальная энергия единичного пробного заряда в данной точке относительно опорной точки (бесконечности). Физический смысл имеет только разность потенциалов, степень "быстроты" изменения потенциала характеризует напряжённость электрического поля, чем "быстрее" на единицу длины изменяется , тем напряженность поля больше.
Это выражается формулой $E= - grad \phi $. Всё это понятно, но когда перехожу к практическим задачам, возникает куча вопросов:
1). Рассмотрим например поле двух точечных зарядов $+q$ и $-4q$. Напряженность поля в точке А равна нулю, но потенциал в ней не равен нулю, а жирная пунктирная окружность проходящая через точку B - это эквипотенциальная поверхность, потенциал которой равен нулю, но напряженность поля в каждой её точке не равна нулю - вот это несоответствие мне непонятно.
Это получается если из бесконечности (потенциал в которой равен 0) приводить пробный заряд в окружность с нулевым потенциалом , то работа равна нулю по любой траектории? Как-то я это не могу представить, там вокруг вполне есть себе поле, против которого надо совершить работу.

2). Это вопрос касается правила знаков. Например рассмотрим однородное поле между заряженными пластинами и выберем нулевой уровень потенциала где-то между ними $Fi_0$, правильно ли я расставил знаки потенциалов, т.е. при движении от нулевого уровня против силовых линий поля, потенциал возрастает и потому больше нуля, а при движении по линиям поля убывает и меньше нуля.

3) Потенциал большого проводника (Земли) часто принимают за нулевой, причину этого я это вижу так, например пусть пробный заряд будет отрицательным, подводя его из бесконечности к такому проводнику электронам этого проводника, за счёт больших размеров легче "разбежаться" подальше от нашего отрицательного пробного заряда, и соответственно они оказывают меньше "противодействия" на пробный заряд, а значит работа по внесению пробного заряда в область такого проводника будет намного меньше, чем если бы проводник был бы соизмерим с пробным зарядам, а значит можно принять потенциал большого проводника , как и на бесконечности нулевым. Правильно ли я описал причину?

[Mihr]

Viktor92 в сообщении #909482 писал(а):

Это получается если из бесконечности (потенциал в которой равен 0) приводить пробный заряд в окружность с нулевым потенциалом , то работа равна нулю по любой траектории?

Не везде будет движение против поля. По какой бы траектории Вы ни приближались "из бесконечности" к произвольно выбранной точки указанной Вами окружности, на части пути поле двух зарядов будет Вам помогать, а на части - мешать. Так что суммарная "помощь" этого поля окажется равной нулю.

Цитата:

правильно ли я расставил знаки потенциалов

Правильно.

Цитата:

причину этого я это вижу так

Причины нет. Нулевой потенциал - это чистейшая условность. За точку нулевого потенциала Вы можете принять любую точку, какая Вам нравится.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #909482 писал(а):

Это выражается формулой $E= - grad \phi $.

Средствами форумного LaTeX это можно записать красивее: со значком вектора:
$\vec{E}=-\operatorname{grad}\varphi$
$\vec{E}=-\operatorname{grad}\varphi$
или с обозначением вектора полужирным шрифтом (как во многих книгах по физике):
$\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi$
$\mathbf{E}=-\operatorname{grad}\varphi$

Viktor92 в сообщении #909482 писал(а):

1). Рассмотрим например поле двух точечных зарядов $+q$ и $-4q$. Напряженность поля в точке А равна нулю, но потенциал в ней не равен нулю, а жирная пунктирная окружность проходящая через точку B - это эквипотенциальная поверхность, потенциал которой равен нулю, но напряженность поля в каждой её точке не равна нулю - вот это несоответствие мне непонятно.

Ну а чего тут такого? Операция векторного анализа "градиент" - это аналог операции "производная" в анализе функций одной переменной. Так что, этот факт аналогичен тому, что там, где производная равна нулю - там сама функция может быть не равна нулю; а там, где сама функция равна нулю, - там, наоборот, производная может быть не равна нулю.

Если взять производную вдоль какой-то линии, и проекцию вектора напряжённости на эту линию, то это соответствие становится точным: $E_{\vec{\tau}}=-\dfrac{\partial\varphi}{\partial\vec{\tau}}.$

Viktor92 в сообщении #909482 писал(а):

Это вопрос касается правила знаков... правильно ли я расставил знаки потенциалов...

Правильно. Можно проверить себя по очень простому правилу: вблизи положительного заряда потенциал положительный, вблизи отрицательного заряда потенциал отрицательный. Правило не всегда работает, но для начала поможет привыкнуть.

Viktor92 в сообщении #909482 писал(а):

Потенциал большого проводника (Земли) часто принимают за нулевой

На самом деле, нет. Потенциал именно Земли принимают за нулевой. Чисто практически (можно устроить заземление, и отсчитывать все напряжения от получившегося потенциала). А для какого-то другого большого проводника это будет не так.

Mihr в сообщении #909484 писал(а):

Нулевой потенциал - это чистейшая условность. За точку нулевого потенциала Вы можете принять любую точку, какая Вам нравится.

Это правильно замечено. И более того: за уровень нулевого потенциала можно принять любой уровень, какой вам нравится. Даже такой уровень, который не достигается вообще ни в какой точке!

[Viktor92]

Munin в сообщении #909495 писал(а):

Ну а чего тут такого? Операция векторного анализа "градиент" - это аналог операции "производная" в анализе функций одной переменной. Так что, этот факт аналогичен тому, что там, где производная равна нулю - там сама функция может быть не равна нулю; а там, где сама функция равна нулю, - там, наоборот, производная может быть не равна нулю.

Если взять производную вдоль какой-то линии, и проекцию вектора напряжённости на эту линию, то это соответствие становится точным: $E_{\vec{\tau}}=-\dfrac{\partial\varphi}{\partial\vec{\tau}}.$

Спасибо, я как-то пытался интуитивно понять, а надо было математику вспомнить.

[Munin]

Ну конечно, на уровне математики это надо понимать в первую очередь.

Но и на уровне физики можно. Там, где напряжённость равна нулю - там на пробный заряд не действует сила. Он в равновесии (устойчивом или неустойчивом). Но его потенциальная энергия может быть и выше, и ниже нуля. А там, где потенциал равен нулю - там потенциальная энергия равна нулю. Но сила при этом может действовать, тянуть куда-то.

[Viktor92]

Погодите-ка , а ведь в электростатических полях в принципе не может быть устойчивого равновесия по теореме Ирншоу, если конечно не задействованы сторонние силы. А на счёт физического понимания, вот если провести аналогию с гравитационным полем, то например если тело лежит на уровне Земли, то принимая его за нулевой уровень потенциала, можно сказать, что потенциальная энергия равна нулю, а сила тяжести ведь все равно действует - это аналогия на

Цитата:

А там, где потенциал равен нулю - там потенциальная энергия равна нулю. Но сила при этом может действовать, тянуть куда-то

А если например поместить тело в центр Земли, то насколько я понимаю сила тяжести на него действовать не будет и причем судя по всему тело будет находиться в устойчивом равновесии, но потенциал относительно поверхности будет отрицательным это аналогия на

Цитата:

Там, где напряжённость равна нулю - там на пробный заряд не действует сила. Он в равновесии (устойчивом или неустойчивом)

[Mihr]

Viktor92 в сообщении #909820 писал(а):

в электростатических полях в принципе не может быть устойчивого равновесия по теореме Ирншоу, если конечно не задействованы сторонние силы.

Это верно.

Viktor92 в сообщении #909820 писал(а):

если тело лежит на уровне Земли, то принимая его за нулевой уровень потенциала, можно сказать, что потенциальная энергия равна нулю, а сила тяжести ведь все равно действует

Ну, так это, вроде бы, уже обсуждалось. За нулевой уровень потенциала Вы можете выбрать какую угодно эквипотенциальную поверхность. Но это, разумеется, не означает, что в зависимости от Вашего выбора в данном положении на тело будет действовать сила или не будет.

Viktor92 в сообщении #909820 писал(а):

А если например поместить тело в центр Земли, то насколько я понимаю сила тяжести на него действовать не будет и причем судя по всему тело будет находиться в устойчивом равновесии, но потенциал относительно поверхности будет отрицательным

Совершенно верно. Ну и что?
Напряжённость гравитационного поля в центре Земли равна нулю. Сила тяжести тоже равна нулю. А потенциал отрицателен. В чём криминал?
Напряжённость - это градиент потенциала (взятый со знаком "минус"). Напряжённость в данной точке равна нулю - значит в узкой окрестности этой точки потенциал практически не меняется. При этом само значение потенциала может быть каким угодно (но почти одинаковым всюду в этой окрестности).

[Munin]

Viktor92 в сообщении #909820 писал(а):

Погодите-ка , а ведь в электростатических полях в принципе не может быть устойчивого равновесия по теореме Ирншоу, если конечно не задействованы сторонние силы.

Ну, давайте, во-первых, вспомним, что мы рассматриваем движение не всей системы зарядов, а одного пробного заряда. Все остальные заряды "прибиты к месту гвоздями". Это значит, что на них могут действовать сторонние силы, удерживающие их на месте.

Дальше, во-вторых. Вы знаете, что в одномерном матанализе, если производная равна нулю, то точка может быть либо точкой устойчивого равновесия (вторая производная \glqq$+$''), либо неустойчивого равновесия (вторая производная \glqq$-$''), либо хрен-поймёшь (вторая производная \glqq$0$'', и надо лезть в старшие производные, и например, бывает точка перегиба, как у $y=x^3$).

В многомерном матанализе ситуация богаче. Если первая производная (градиент) равна нулю, то вторая производная может быть разная по разным направлениям. Не буду углубляться, но есть несколько перпендикулярных главных направлений, и по каждому главному направлению вторая производная может быть:
- \glqq$+$'' - то есть, "ямка";
- \glqq$-$'' - то есть, "горка";
- \glqq$0$'' - то есть, "равнина".
И дальше, надо составить полный список этих знаков, столько, сколько размерностей у пространства. Этот список называется индексом, сигнатурой, типом стационарной точки, или как-то ещё. Самые главные типы, которые надо представлять себе, такие:
- все \glqq$+$'' - в целом стационарная точка - "ямка", то есть, минимум;
- все \glqq$-$'' - в целом стационарная точка - "горка", то есть, максимум;
- есть \glqq$+$'' и есть \glqq$-$'' - в целом стационарная точка - седловая точка, похожая на "горный перевал";
Кроме того:
- есть \glqq$\pm$'' и есть \glqq$0$'' - надо отбросить нули, и смотреть на тип того, что останется;
- все \glqq$0$'' - вот тут тот же самый случай "хрен-поймёшь", и надо смотреть старшие производные.

Итак, в электростатике, есть замечательное свойство:

в пустом пространстве без зарядов бывают только седловые стационарные точки.

В том числе, вырожденные, то есть с какими-то нулями, но то, что останется - обязательно седло (или "хрен-поймёшь"). Но если у нас есть какая-то пространственная плотность зарядов, то

в области пространства с ненулевой плотностью зарядов бывают также экстремумы.

Итак, на самом деле, для пробного заряда бывают только точки неустойчивого равновесия, если мы рассматриваем только поле вне зарядов (например, поле, созданное точечными зарядами), но иначе, если мы рассматриваем области с пространственной плотностью зарядов, то в таких областях возможны точки устойчивого равновесия. Простейший пример: отрицательно заряженный шар, в центре которого - устойчивое равновесие для положительного пробного заряда.

-- 20.09.2014 16:14:52 --

Viktor92 в сообщении #909820 писал(а):

А на счёт физического понимания, вот если провести аналогию с гравитационным полем, то например...

Да, дальше рассуждения все правильные. Заметьте, ситуация с телом в центре Земли аналогична ситуации с положительным зарядом в центре отрицательно заряженного шара.

[Fooxy]

Здравствуйте! Можно пару глупых вопросов?

Munin в сообщении #909673 писал(а):

А там, где потенциал равен нулю - там потенциальная энергия равна нулю. Но сила при этом может действовать, тянуть куда-то.

Получается, если мы можем за уровень нулевого потенциала выбрать любой уровень, то и потенциальная энергия может быть выбрана нулевой в любой точке или на любом уровне. И энергия гравитационного поля, по аналогии, на поверхности Земли может быть равна нулю? А можно ли взять за такой уровень, например, расстояние 100 м от поверхности Земли? И как $U=0$ стыкуется с $U=mgh$ в таком случае?

Pphantom:

Не забывайте оформлять формулы (в этом сообщении это уже исправлено). Кроме этого, отдельные вопросы стоит задавать в отдельных же темах.

[aa_dav]

Fooxy в сообщении #999391 писал(а):

И как U=0 стыкуется с U=mgh в таком случае?

$mgh$ это первоисточник сей понятийной базы и звучит он так, что если мы поднимаем что то в однородном гравиполе на высоту $h$, то совершаем работу $mgh$, а если что-то в гравиполе опускается на высоту $h$, то поле совершает работу $mgh$. Важна так сказать "разница" и она есть суть вещей. Поэтому какой высоте вы там припишите нулевой потенциал это вопрос удобства.

[Mihr]

Fooxy в сообщении #999391 писал(а):

И как U=0 стыкуется с U=mgh в таком случае?

Великолепно стыкуется. $U=mgh$, где $h$ - высота, отсчитываемая от любого уровня, принятого за нулевой. А вовсе не обязательно от поверхности земли.

[Fooxy]

Mihr в сообщении #999402 писал(а):

высота, отсчитываемая от любого уровня, принятого за нулевой. А вовсе не обязательно от поверхности земли.

Ну, да, действительно.

aa_dav, Mihr, спасибо=)

[Munin]

Fooxy в сообщении #999391 писал(а):

Получается, если мы можем за уровень нулевого потенциала выбрать любой уровень, то и потенциальная энергия может быть выбрана нулевой в любой точке или на любом уровне.

Да.

Правда, надо уточнить, что речь не об "уровне нулевого потенциала", а о прибавлении слагаемого к самому потенциалу. Это слагаемое может быть таким, что нулевым потенциал не будет вообще нигде во Вселенной.

Fooxy в сообщении #999391 писал(а):

И энергия гравитационного поля, по аналогии, на поверхности Земли может быть равна нулю?

Нет, потому что энергия гравитационного поля - совсем другая величина, и вычисляется она не через потенциал, а через напряжённость - вектор $\vec{g}.$ А он никак не поменяется от того, что вы возьмёте другой уровень отсчёта потенциала.

Fooxy в сообщении #999391 писал(а):

И как $U=0$ стыкуется с $U=mgh$ в таком случае?

Более правильная формула такая: $U=mgh+U_0=mg(h-h_0).$ Когда вы будете изучать неопределённый и определённый интеграл, вы узнаете, что это такое - константа интегрирования.

[Fooxy]

Munin в сообщении #999432 писал(а):

а о прибавлении слагаемого к самому потенциалу

Munin в сообщении #999432 писал(а):

Более правильная формула такая: $U=mgh+U_0=mg(h-h_0).$

М, понятно. Пойду почитаю еще.

Munin в сообщении #999432 писал(а):

Нет, потому что энергия гравитационного поля - совсем другая величина, и вычисляется она не через потенциал, а через напряжённость - вектор $\vec{g}.$

Что-то я запуталась. Есть какое-то принципиальное отличие энергии гравитационного поля от энергии электрического? Энергия электрического поля не может быть вычислена через напряженность? Для электрического поля будет мы можем по аналогии написать $W=qEl+W_0$ ?

Извините, каша в голове=(

[Munin]

Fooxy в сообщении #999460 писал(а):

Есть какое-то принципиальное отличие энергии гравитационного поля от энергии электрического?

Есть принципиальное отличие потенциальной энергии заряда в поле от энергии самого поля. В общем, это главный момент, в котором кашу надо разгрести.

Для электрического поля, потенциальная энергия заряда в поле $U=q\varphi,$ а плотность энергии поля - $W=\varepsilon_0 E^2/2.$ Эта плотность - в расчёте на единицу объёма, а для получения энергии поля надо проинтегрировать $E=\int W\,dV.$ Вообще говоря, по всему бесконечному пространству.

Для гравитационного поля, с потенциальной энергией всё аналогично: $U=m\varphi_\mathrm{g}$ - а вот плотность энергии поля не совсем хорошо определена. Поэтому о ней предпочитают не говорить (кроме как физикам-теоретикам, они должны быть в курсе).