В общем случае ничего. Например, при

и достаточно большом

многочлен Тейлора

имеет корень

, а

,

.
Если предположить, что точки

и

близки, то можно получнить оценку при некоторых предположениях. Обозначим

остаточный член,

, тогда, если

, по теореме о среднем
где

- некоторое число между

и

. Если в той окрестности

, где ищется корень,

, и

, то получим
Если корень простой,

такую окрестность подобрать можно. Только при

корень будет двойным, а если

близко

, то производная в корне будет мала.
Не понятно, чем метод сведения к алгебраическому уравнению будет в данном случае лучше деления отрезка пополам. Уравнение еще решать надо, и, например, если

чуть меньше

, то у исходного уравнения нет корней, кроме нуля, а у

не исключено, что могут тоявиться какие-то лишние корни. Разве что, посчитать

с большой точностью, чтобы отсекать этот случай.