Хорошие и плохие функции

[kp9r4d]

Так чтобы физикам новую букву придумать для обозначения решения какого то диффура им не обязательно знать, лежит ли это решение в каком то странном классе.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998733 писал(а):

Так чтобы физикам новую букву придумать для обозначения решения какого то диффура им не обязательно знать, лежит ли это решение в каком то странном классе.

Букву придумать просто. Труднее понять, что с этой буквой делать дальше.
Вот хорошие функции - они почти всюду дифференцируемы, причем есть алгоритм, возвращающий производную как функцию (а не просто значение производной в точке). Это значит, что их легко исследовать на экстремумы, перегибы и прочее поведение. В ряд Тейлора разлагать, чтобы пренебречь малыми членами. Составлять новые дифуры.
А вот что делать с придуманной буквой?

[Terraniux]

Для того чтобы работать с функцией, совсем не обязательно знать её явный вид.

[Anton_Peplov]

Terraniux в сообщении #998801 писал(а):

Для того чтобы работать с функцией, совсем не обязательно знать её явный вид.

Не обязательно. Существует т.н. качественная теория дифференциальных уравнений, которая исследует свойства решений, не находя их. Но, насколько я понимаю, хватает уравнений, с которыми она не справляется.

[kp9r4d]

Да мне вот больше непонятно что такое этот вот "явный вид". Вот хорошо, с тем, что полиномы должны быть в вашем классе вы согласились, рассмотрим функцию $F$ которая отображает многочлен в множество его корней. Она гладко зависит от коэффициентов (по крайней мере, пока все корни различны), вот абстрактному физику нужны корни уравнения $x^7 + x + 1 = 0$, вот он идёт такой и берёт нашу функцию $F$ из вашего класса. Он знает про то, что она гладкая, а следовательно дифференцируемая и интегрируемая, знает про то, что она вычислима, делает вывод, что все интегралы и производные от этой функции тоже должны лежать в вашем классе. Ну и чего он с ней дальше делать будет?

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998911 писал(а):

Ну и чего он с ней дальше делать будет?

Если ему нужны только корни уравнения (как число), то ему и функция эта не нужна, можно решить уравнение численно. А вот если исследовал мудрый физик зависимость лохматости $x$ абстрактных лямзиков от времени $t$. То ли возрастает она со временем, то ли убывает, а то ли имеет участки и возрастания и убывания; то ли уходит она в бесконечность при возрастании $t$, а то ли ограничена; то ли периодична, а то ли... И нашел он путем хитрых преобразований, что $tx^7 + tx + t = 0$ (лохматость абстрактных лямзиков - величина безразмерная). Ну и как ему ответить на свои вопросы о функции $x = x(t)$? Можно сделать много-много численных решений при разных значениях $t$ и начертить примерный график, но... Все "но" Вы можете назвать и сами. А вот пошел он в заветный класс, и взял функцию $x = x(t)$, и продифференцировал ее, и приравнял производную нулю...
И жили они долго и счастливо.

[kp9r4d]

Ну опять же непонятно что значит "взял". В вашем классе (если он существует) функция $x=x(t)$ лежит, это мы доказали, ибо он гладкая, дифференцируемая, интегрируемая, вычислимая и является обратной к многочлену (это мы тоже доказали). Как её можно "взять"?

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #990074 писал(а):

Назовем две функции подобными, если они совпадают или отличаются только коэффициентами. Например, подобны $y = x^2$ и $y = x^3$, $y = \log_2 x$ и $y = \log_3 x$. Очевидно, отношение подобия рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. любое множество функций распадается на классы подобных друг другу функций.
Множество всех элементарных функций континуально (например, одних только прямых $y = ax$ континуум, т.к. каждое действительное значение $a$ образует свою прямую), но во множестве всех элементарных функций счетное число классов подобия. В символических вычислениях мы можем не различать подобные функции, а в численных расчетах вместо коэффициентов подставляются рациональные числа. Поэтому с классом всех элементарных функций можно работать.

Меня интересует такое множество хороших замкнутых по уравнениям функций, в котором счетное число классов подобия. С ним тоже можно будет работать.

Итак, в нашем гипотетическом множестве:
1. Счетное число классов подобия.
2. Каждый класс подобия закодирован фразой конечного алфавита (как фраза $y = \log_a x$ кодирует класс подобия логарифмических функций).
3. Существует алгоритм, который по классу подобия функции возвращает класс подобия ее производной (для элементарных функций такой алгоритм есть, он сводится к таблице производных и правилам дифференцирования).
"Взять" функцию - найти символическую запись ее класса подобия. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ такая запись, например, $x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Далее можно дифференцировать эти $x = x(a, b, c)$ и вообще делать с ними что угодно.
Другой вопрос - а как по уравнению найти запись функции, выражающей его решение? В самом общем виде такая проблема, увы, алгоритмически неразрешима. Что не исключает существования алгоритмов для достаточно широкого класса уравнений. В частности, алгоритма, который по уравнению $tx^2 + tx + t = 0$ выдает символическую запись функции $x = x(t)$.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):

1. Счетное число классов подобия.

Я не понял, что такое "класс подобия"? В классе подобия $x^2$ какие ещё функции лежат?

Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):

2. Каждый класс подобия закодирован фразой конечного алфавита (как фраза $y = \log_a x$ кодирует класс подобия логарифмических функций).

Константы у вас хорошие функции? А вот их нельзя.

Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):

"Взять" функцию - найти символическую запись ее класса подобия

Что такое "символическая запись"?

Это ещё вопросов всякой "вычислимости" если не касаться. Как известно, любая попытка определить понятие вычислимой функции таким образом, чтобы каждая $f(n)$ была определена при любом $n$, а множество всех $f(n)$ оставалось счётным - заведомо провальная.

-- 01.04.2015, 17:37 --

Прошу прощения, невнимательно прочитал цитату. Но она всё равно непонятная. У вас все функции непрерывные, значит их континуум, закодируем каждую функцию из вашего класса вещественным числом, и пусть $\Gamma_\alpha$ - функция под номером $\alpha$ из вашего класса, выходит все функции подобные?

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):

В классе подобия $x^2$ какие ещё функции лежат?

В классе подобия функции $y = x^2$ лежат функции $y = x^3$, $y = x^4$ и вообще любая $y = x^n$. Правда, туда попадает и $y = x$, которая, с другой стороны, попадает в класс $y = kx$ вместе с $y = 2x$, $y = 3x$ и т.д. Значит, классы подобия могут пересекаться, т.е. с транзитивностью отношения подобия я погорячился. Но неочевидно, что это помешает. А если помешает, то надо подумать, как переопределить классы подобия.

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):

Что такое "символическая запись"?

Символической записью класса подобия для функций $y = x^3$, $y = x^4$ и т.д. является "$y = x^n$". Вот этот набор четырех символов: "y", "x", "^", "n", записанных друг за другом.

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):

Константы у вас хорошие функции? А вот их нельзя.

Все константы входят в один и тот же класс подобия. Закодировать этот класс подобия можно, например, записью "$y = c$".

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):

Как известно, любая попытка определить понятие вычислимой функции таким образом, чтобы каждая $f(n)$ была определена при любом $n$, а множество всех $f(n)$ оставалось счётным - заведомо провальная.

А кто тут пытается переопределить понятие вычислимой функции или рассмотреть множество всех вычислимых функций? Меня не всякая вычислимая функция интересует. У Вас к вычислимости элементарных функций с рациональными коэффициентами во всех рациональных точках претензии есть? Если их нет, то откуда они возьмутся для искомого класса функций? А в случае иррациональных точек или коэффициентов мы все равно обрываем их на некотором знаке после запятой, тем самым заменяя рациональными.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да ну эти классы подобия. Я же, вроде, уже предложил взять термы от данного множества функций многих переменных и переменных. Потом вместо любого множества переменных можно подставить любые вещественные константы. В результате хотя и нет гарантии, что термы порождают непересекающиеся классы функций, но зато прозрачно, откуда и как эти классы получаются. А вот нужно ли уметь определять все классы, которым принадлежит данная функция — сомнительно.

Например, терм $x$ ($x$ — переменная) порождает функцию $x\mapsto x$ и континуум функций $x\mapsto c,c\in\mathbb R$, а терм $x+y$ порождает функции $(x,y)\mapsto x+y$, $(x,y)\mapsto x+c$, $(x,y)\mapsto c+y$, $(x,y)\mapsto c$.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #999025 писал(а):

Я же, вроде, уже предложил взять термы от данного множества функций многих переменных и переменных. Потом вместо любого множества переменных можно подставить любые вещественные константы.

Да, это то что нужно, спасибо.