Мат ожидание условно на сигма-алгебру

[Joe Black]

Подскажите пожалуйста как понять что это такое и чем будут отличаться мат ожидания по разным сигма-алгебрам?

[Otta]

Может, Вы вопрос толком напишете, а?

[Joe Black]

Есть вероятностное пр-ва $(\Omega,F,P)$ и $(\Omega,G,P)$. Что такое $E(A|F)$ и чем оно будет отличаться от $E(A|G)$? где A - какое-то событие

[Brukvalub]

Мат.ожидание СОБЫТИЯ? Это как???

[Joe Black]

Brukvalub в сообщении #997616 писал(а):

Мат.ожидание СОБЫТИЯ? Это как???

Извиняюсь, случайной величины

[Brukvalub]

Корректное определение условного мат.ожидания случайной величины относительно сигма-алгебры занимает 2 стр. печатного текста. Вряд ли это понятие можно изложить "на пальцах", уж слишком оно абстрактно. Точное определение можно найти, например, в учебнике А.Н. Ширяева "Вероятность".

[--mS--]

Да нет, определение-то как раз много места не займёт, только, боюсь, толку от него не будет - с ним работать надо.
Пусть $\mathsf E|\xi|<\infty$. УМО $\mathsf E (\xi | \mathcal F)$ - это случайная величина $\eta$ (любая из) со следующими свойствами:

(1) $\eta$ измерима относительно сигма-алгебры $\mathcal F$;

(2) Для любого события $A\in \mathcal F$

$$\mathsf E(\eta; A) = \mathsf E(\xi; A)$$

(математические ожидания по множествам).

Соответственно, $\mathsf E(\xi | \mathcal F)$ отличается от $\mathsf E(\xi | \mathcal G)$ хотя бы первым пунктом.

Если на пальцах, имея в виду величину $\xi$ с конечным вторым моментом, то УМО $\mathsf E(\xi | \mathcal F)$ есть проекция в гильбертовом пространстве случайных величин со скалярным произведением $(\xi, \eta)=\mathsf E(\xi\eta)$ случайной величины $\xi$ на линейное пространство случайных величин, измеримых относительно сигма-алгебры $\mathcal F$. Соответственно, $\mathsf E(\xi | \mathcal G)$ - проекция той же величины на линейное пространство случайных величин, измеримых относительно сигма-алгебры $\mathcal G$. Вот и разница.

Да и вообще - в русском разделе вики неплохо написано то же самое.

[Brukvalub]

"На пальцах", если не требовать конечного второго момента ( на мой взгляд, это требование не совсем естественно ), то можно еще поговорить о т. Радона-Никодима, т.е. о "производной" одной меры по другой мере, но полной наглядности все равно нет.

[--mS--]

Brukvalub в сообщении #997799 писал(а):

то можно еще поговорить о т. Радона-Никодима, т.е. о "производной" одной меры по другой мере

Прошу прощения, не вижу никакой связи УМО с производной Радона - Никодима. Ы?

[dsge]

Joe Black в сообщении #997610 писал(а):

Что такое $E(A|F)$ и чем оно будет отличаться от $E(A|G)$?

Вы можете разлить бочку пива по 3-х литровым банкам ($F$) или по 5-ти литровым ($G$). Средняя плотность пива (плотность распределения) в каждой банке и будет условная вероятность. Если Вы далее разольёте пиво из 3-х литровых банок по одно-литровым и опять посчитаете среднюю плотность в каждой банке, то это будет условная вероятность по более мелкому разбиению (сигма-алгебре).

[Brukvalub]

--mS-- в сообщении #997927 писал(а):

Brukvalub в сообщении #997799 писал(а):

то можно еще поговорить о т. Радона-Никодима, т.е. о "производной" одной меры по другой мере

Прошу прощения, не вижу никакой связи УМО с производной Радона - Никодима. Ы?

Условное мат.ожидание можно получить как производную Радона-Никодима меры, порождаемой им самим по исходной мере.

-- Пн мар 30, 2015 17:29:19 --

dsge в сообщении #997950 писал(а):

Joe Black в сообщении #997610 писал(а):

Что такое $E(A|F)$ и чем оно будет отличаться от $E(A|G)$?

Вы можете разлить бочку пива по 3-х литровым банкам ($F$) или по 5-ти литровым ($G$). Средняя плотность пива (плотность распределения) в каждой банке и будет условная вероятность. Если Вы далее разольёте пиво из 3-х литровых банок по одно-литровым и опять посчитаете среднюю плотность в каждой банке, то это будет условная вероятность по более мелкому разбиению (сигма-алгебре).

Не понял, как все это разлитое пиво соотносится с условным мат. ожиданием случайной величины? Пиво - это и есть случайная величина?

[dsge]

Brukvalub в сообщении #998027 писал(а):

Не понял, как все это разлитое пиво соотносится с условным мат. ожиданием случайной величины? Пиво - это и есть случайная величина?

Плотность (или крепость, если угодно) пива, при допущении, что оно неоднородно.

[Brukvalub]

А при чем здесь "условная вероятность". если выше обсуждается условное математическое ожидание?

[--mS--]

Brukvalub в сообщении #998027 писал(а):

Условное мат.ожидание можно получить как производную Радона-Никодима меры, порождаемой им самим по исходной мере.

Мозг взрывается Производная Радона - Никодима одной меры по другой есть плотность. Где тут УМО?

[Brukvalub]

Если мы будем интегрировать условное мат.ожидание по элементам той сигма-алгебры, которая порождает условное мат.ожидание, то получим некоторую новую меру, плотность которой относительно исходной меры и будет, с одной стороны, производной новой меры по старой, а, с другой стороны, будет искомым условным мат.ожиданием. Вот я и подумал, что взгляд на условное мат.ожидание как на плотность одной меры относительно другой может что-нибудь прояснить, но только запутал даже специалиста.